Lösung Potenzgesetze - Struktur und Begründung

ML zu a)

Gleichheiten, die für alle \(a,b\) und Exponenten \(m,n\) gelten:

• \((1)=(2)\), also \(a^n\cdot a^m = a^{n+m}\)

• \((3)=(4)\), also \(a^n\cdot b^n = (ab)^n\)

• \((3)=(6)\), also \(a^n\cdot b^n = b^n\cdot a^n\)

Daraus folgt auch \((4)=(6)\) (weil beide zu (3) gleich sind).

ML zu b)

Begründungen mit „Potenz = Produkt gleicher Faktoren“:

• \(a^n\cdot a^m = a^{n+m}\)  
   \(a^n\) bedeutet „\(n\)-mal den Faktor \(a\)“, \(a^m\) bedeutet „\(m\)-mal den Faktor \(a\)“.  
    Im Produkt stehen insgesamt \(n+m\) Faktoren \(a\) ⇒ \(a^{n+m}\).

• \(a^n\cdot b^n = (ab)^n\)  
   \(a^n\cdot b^n\) enthält \(n\) Faktoren \(a\) und \(n\) Faktoren \(b\).  
    Man kann die Faktoren so umordnen, dass \((ab)\) als Block \(n\)-mal erscheint:  
   \(a\cdot b\cdot a\cdot b\cdots a\cdot b = (ab)^n\).

• \(a^n\cdot b^n = b^n\cdot a^n\)  
    Beide Produkte enthalten dieselben Faktoren (\(n\)-mal \(a\) und \(n\)-mal \(b\)); die Reihenfolge der Faktoren ist beim Multiplizieren egal.

ML zu c)

Ja: \((5)\;a^m\cdot b^n\) passt im Allgemeinen zu keinem anderen Term.

Begründung allgemein:

• Für \(a^m\cdot b^n\) sind weder die Basen gleich (wie bei (1)) noch die Exponenten gleich (wie bei (3)).
• Ohne Zusatzbedingung (z. B. \(m=n\) oder \(a=b\)) lässt sich der Term nicht zu \(a^{m+n}\) oder \((ab)^n\) umformen.
  Also hat (5) unabhängig von der Wahl der Größen keinen festen Partner.

ML zu d)

Aussage: „Beim Multiplizieren von Potenzen kann man die Exponenten immer addieren.“

• Fall, in dem die Aussage gilt: \(a^n\cdot a^m = a^{n+m}\) (gleiche Basis)

• Fall, in dem die Aussage nicht gilt: \(a^n\cdot b^n \neq a^{n+n}\) (im Allgemeinen), denn links kommen Faktoren \(a\) und \(b\) vor, rechts nur \(a\).

Korrektur: Exponenten addieren darf man nur bei gleicher Basis; bei gleichem Exponenten gilt stattdessen \(a^n\cdot b^n=(ab)^n\).