Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung
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Zusammenfassung
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Details
- Seiteneigenschaften
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- Inhalt
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... ... @@ -34,62 +34,98 @@ 34 34 35 35 == Potenz mit ganzzahligen Exponenten == 36 36 37 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Fortsetzung begründen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="3" quelle="nach Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}} 38 -Gegeben ist die folgende Wertetabelle: 37 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 38 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge: 39 +| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 | 39 39 40 -| {{formula}}3^3{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{\square}{{/formula}} | {{formula}}3^{\square}{{/formula}} | 41 -| 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | 42 - 43 43 (% style="list-style: alphastyle" %) 44 -1. Ergänze die Tabelle so, dass das Muster von links nach rechts sinnvoll fortgesetzt wird. 45 -1. Beschreibe das entstehende Muster. 46 -1. Bestimme die fehlenden Exponenten und begründe, warum diese Fortsetzung sinnvoll ist. 42 +1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar. 43 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung. 44 +1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder. 45 +1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist. 47 47 {{/aufgabe}} 48 48 49 49 {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}} 50 -Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:49 +Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken: 51 51 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} 52 52 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}} 53 53 {{/aufgabe}} 54 54 55 -{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5 , K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}54 +{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}} 56 56 Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich. 57 57 (% style="list-style: alphastyle" %) 58 58 1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}} 59 59 1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}} 60 60 1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}} 61 -1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}} 62 62 {{/aufgabe}} 63 63 64 64 {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}} 65 - Nenne die Potenzschreibweisevon{{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.63 +Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an. 66 66 {{/aufgabe}} 67 67 68 -{{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}} 69 -Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“// 66 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 67 +Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben: 68 +S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}. 69 +S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}. 70 +S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}. 71 +S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}. 72 +S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}. 73 +S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}. 74 + 70 70 (% style="list-style: alphastyle" %) 71 -1. Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist. 72 -Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels. 73 -1. Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist. 76 +1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich. 77 +1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen. 78 +1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt. 79 +1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an. 74 74 {{/aufgabe}} 75 75 82 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}} 83 +Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}): 84 +G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}} 85 +G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}} 86 +G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}} 87 + 88 +(% style="list-style: alphastyle" %) 89 +1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an. 90 +1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}} 91 +1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss. 92 +{{/aufgabe}} 93 + 76 76 == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n == 77 77 78 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}} 79 -Führe fort .. 96 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 97 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge: 98 +| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 80 80 81 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}} 82 -| 16 | 4 | 2 | | | | 100 +(% style="list-style: alphastyle" %) 101 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar. 102 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung. 103 +1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied. 104 +1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten. 83 83 {{/aufgabe}} 84 84 107 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 108 +Gegeben sind die Gleichungen: 109 +{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}} 110 +(% style="list-style: alphastyle" %) 111 +1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen. 112 +1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind. 113 +1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung. 114 +{{/aufgabe}} 85 85 86 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}} 116 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}} 117 +Ergänze die Wertetabelle: 118 + 119 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} | 120 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | 121 +{{/aufgabe}} 122 + 123 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}} 87 87 Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich. 88 88 (% style="list-style: alphastyle" %) 89 89 1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}} 90 90 1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} 91 91 1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}} 92 -1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}} 93 93 {{/aufgabe}} 94 94 95 95 {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}} ... ... @@ -100,7 +100,39 @@ 100 100 1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}} 101 101 {{/aufgabe}} 102 102 103 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}} 139 +== Potenzen mit rationalen Exponenten == 140 + 141 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 142 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge: 143 +| {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} | 144 + 145 +(% style="list-style: alphastyle" %) 146 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar. 147 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung. 148 +1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied. 149 +1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten. 150 +{{/aufgabe}} 151 + 152 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 153 +Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen: 154 +{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}} 155 + 156 +(% style="list-style: alphastyle" %) 157 +1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse. 158 +1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern. 159 +1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten). 160 +1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung. 161 +{{/aufgabe}} 162 + 163 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}} 164 +Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}. 165 + 166 +(% style="list-style: alphastyle" %) 167 +1. Berechne: {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}} 168 +1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an. 169 +{{/aufgabe}} 170 + 171 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}} 104 104 Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken: 105 105 (% style="list-style: alphastyle" %) 106 106 1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}} ... ... @@ -109,21 +109,6 @@ 109 109 1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}} 110 110 {{/aufgabe}} 111 111 112 -== Potenzen mit rationalen Exponenten == 113 - 114 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}} 115 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}. 116 - 117 -(% class="abc" %) 118 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar: 119 -1. in Prozent 120 -1. als vollständig gekürzter Bruch 121 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}} 122 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele) 123 -1. als Zahl in Normdarstellung))) 124 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein. 125 -{{/aufgabe}} 126 - 127 127 == Zehnerpotenzen und Normdarstellung == 128 128 129 129 {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}} ... ... @@ -147,7 +147,19 @@ 147 147 1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen. 148 148 {{/aufgabe}} 149 149 203 +{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}} 204 +Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}. 150 150 206 +(% class="abc" %) 207 +1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar: 208 +1. in Prozent 209 +1. als vollständig gekürzter Bruch 210 +1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}} 211 +1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele) 212 +1. als Zahl in Normdarstellung))) 213 +1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein. 214 +{{/aufgabe}} 215 + 151 151 {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}} 152 152 (% class="abc" %) 153 153 1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.