BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

1  Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen  (2 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \((-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4\).
2. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.

2  Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen  (3 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \(2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2\).
2. Untersuche die Gleichung \(a^b = b^a\). Finde Beispiele und Gegenbeispiele.

3  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Terme \((5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1\).

1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen \((a^m)^n\) und einer Potenz der Form \(a^k\) und gib an, wie sich der Exponent \(k\) aus \(m\) und \(n\) ergibt.

4  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen  (4 min) 𝕃

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^4\) das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
2. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^6\) das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

5  Zahlenfolge und Potenzschreibweise  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die fünf Zahlen in der Form \(2^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
4. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form \(2^n\) zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.

6  Wertetabelle mit negativen Exponenten  (2 min) 𝕃

Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:

7  Von der Potenz zum Bruch  (2 min) 𝕃

Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.

1. \(3^{-5}\)
2. \( a^{-b}\)
3. \(8 \cdot b^{-2}\)

8  Vom Bruch zum negativen Exponenten  (1 min) 𝕃

Gib \( \frac{1}{8} \) in Potenzschreibweise an.

9  Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen  (6 min) 𝕃

Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl \(\frac{1}{81}\) als Potenz \(b^n\) dar. Sie machen folgende Angaben:
S1: Für meine Darstellung gilt \(b = 3\).
S2: Für meine Darstellung gilt \(b = \frac{1}{3}\).
S3: Für meine Darstellung gilt \(b = 9\).
S4: Für meine Darstellung gilt \(n = 2\).
S5: Für meine Darstellung gilt \(n = -4\).
S6: Für meine Darstellung gilt \(n = -1\).

1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von \(\frac{1}{81}\), falls möglich.
2. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
3. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
4. Gib  eine weitere Potenzdarstellung von \(\frac{1}{81}\) an.

10  Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen  (6 min) 𝕃

Gegeben sind drei Gleichungen (\(x \in \mathbb{R},\ x \ne 0\)):
G1. \(x^{-1} = -x\)
G2. \(x^{-1} = \frac{1}{x}\)
G3. \(x^{-1} = x\)

1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
2. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe:   \(1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1\)
3. Begründe, warum der Fall \(x=0\) ausgeschlossen werden muss.

11  Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(2^k\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
4. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form \(2^k\) zu und erläutere, warum dabei Exponenten k der Form \(\frac{1}{n}\) auftreten.

12  Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären  (5 min) 𝕃

Gegeben sind die Gleichungen:
\((16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16\)

1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für \(16^{\frac{1}{2}}\), \(8^{\frac{1}{3}}\) und \(16^{\frac{1}{4}}\) in Frage kommen.
2. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
3. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.

13  Wertetabelle mit Exponenten 1/n  (3 min) 𝕃

Ergänze die Wertetabelle:

14  Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(81^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(0,0016^{\frac{1}{4}}\)

15  Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(\sqrt{3^5}\)
2. \(\sqrt[4]{9^2}\)
3. \(\sqrt[a]{b^c}\)

16  Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n  (5 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(2^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
4. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form \(2^n\) zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form \(\frac{m}{n}\) auftreten.

17  Rationale Exponenten – Definition festlegen  (8 min)

Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
\(a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}\)

1. Berechne für \(a=16,\ m=3,\ n=2\) und \(a=8,\ m=2,\ n=3\) jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Untersuche weitere Beispiele (z.B. \(a=-8,\ m=2,\ n=3\)) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
3. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
4. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für \(a^{\frac{m}{n}}\) eignet, und begründe deine Entscheidung.

18  Rationale Exponenten – Definition anwenden  (3 min) 𝕃

Verwende die festgelegte Definition von \(a^{\frac{m}{n}}\).

1. Berechne: \(16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}\)
2. Gib die Zwischenschritte in der Form \((a^{\frac{1}{n}})^m\) an.

19  Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise  (5 min) 𝕃

Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:

1. \(a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}\)
2. \(\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}\)
3. \(\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}\)
4. \(\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}\)

20  Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen  (3 min) 𝕃

Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en \(123 \cdot 10^{12}\) und \(7,32 \cdot 10^{10}\).

1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
2. Nenne die Namen der Zahlen.

21  Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen  (3 min) 𝕃

Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en \(7 \cdot 10^{-5}\), \(1 \cdot 10^{2}\) und \(1 \cdot 10^{-10}\).

Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
Länge eines Fußballfeldes
Durchmesser eines Atoms
Dicke eines menschlichen Haares

1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
2. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.

22  Darstellungwechsel begründen  (6 min) 𝕃

Gegeben ist die Zahl \( 0,0004 \).

1. Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:

   1. in Prozent
   2. als vollständig gekürzter Bruch
   3. als Zahl mit negativem Exponenten der Form \(x^{-2}\)
   4. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
   5. als Zahl in Normdarstellung
2. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.

23  Normdarstellung des Taschenrechners  (4 min) 𝕃

1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
   
2. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.