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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -39,55 +39,92 @@
39 39  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 40  (% style="list-style: alphastyle" %)
41 41  1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster der Potenzdarstellung.
42 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
43 43  1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
44 44  1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
45 45  {{/aufgabe}}
46 46  
47 47  {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
48 -Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:
48 +Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
49 49  | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
50 50  | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
51 51  {{/aufgabe}}
52 52  
53 -{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
53 +{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
54 54  Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
55 55  (% style="list-style: alphastyle" %)
56 56  1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
57 57  1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
58 58  1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
59 -1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}}
60 60  {{/aufgabe}}
61 61  
62 62  {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
63 -Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
62 +Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
64 64  {{/aufgabe}}
65 65  
66 -{{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
67 -Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
65 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 +Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
67 +S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
68 +S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
69 +S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
70 +S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
71 +S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
72 +S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
73 +
68 68  (% style="list-style: alphastyle" %)
69 -1. Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
70 -Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
71 -1. Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
75 +1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 +1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 +1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 +1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
72 72  {{/aufgabe}}
73 73  
81 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 +Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 +G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 +G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 +G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
86 +
87 +(% style="list-style: alphastyle" %)
88 +1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 +1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
90 +1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
91 +{{/aufgabe}}
92 +
74 74  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
75 75  
76 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
77 -Führe fort ..
95 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
97 +| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
78 78  
79 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
80 -| 16 | 4 | 2 | | | |
99 +(% style="list-style: alphastyle" %)
100 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
101 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
102 +1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
103 +1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
81 81  {{/aufgabe}}
82 82  
106 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
107 +Gegeben sind die Gleichungen:
108 +{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
109 +(% style="list-style: alphastyle" %)
110 +1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
111 +1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
112 +1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
113 +{{/aufgabe}}
83 83  
84 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
115 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
116 +Ergänze die Wertetabelle:
117 +
118 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
119 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
120 +{{/aufgabe}}
121 +
122 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
85 85  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
86 86  (% style="list-style: alphastyle" %)
87 87  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
88 88  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
89 89  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
90 -1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
91 91  {{/aufgabe}}
92 92  
93 93  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -98,7 +98,40 @@
98 98  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
99 99  {{/aufgabe}}
100 100  
101 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
138 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
139 +
140 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
141 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
142 +| 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
143 +
144 +(% style="list-style: alphastyle" %)
145 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
146 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
147 +1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
148 +1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{2}{{/formula}} auftreten.
149 +{{/aufgabe}}
150 +
151 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
152 +Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
153 +{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
154 +
155 +(% style="list-style: alphastyle" %)
156 +1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
157 +1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
158 +1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
159 +1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
160 +{{/aufgabe}}
161 +
162 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
163 +Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
164 +
165 +(% style="list-style: alphastyle" %)
166 +1. Berechne:
167 + {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
168 +1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
169 +{{/aufgabe}}
170 +
171 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
102 102  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
103 103  (% style="list-style: alphastyle" %)
104 104  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -107,21 +107,6 @@
107 107  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
108 108  {{/aufgabe}}
109 109  
110 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
111 -
112 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
113 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
114 -
115 -(% class="abc" %)
116 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
117 -1. in Prozent
118 -1. als vollständig gekürzter Bruch
119 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
120 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
121 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
122 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
123 -{{/aufgabe}}
124 -
125 125  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
126 126  
127 127  {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
... ... @@ -145,7 +145,19 @@
145 145  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
146 146  {{/aufgabe}}
147 147  
203 +{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
204 +Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
148 148  
206 +(% class="abc" %)
207 +1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
208 +1. in Prozent
209 +1. als vollständig gekürzter Bruch
210 +1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
211 +1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
212 +1. als Zahl in Normdarstellung)))
213 +1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
214 +{{/aufgabe}}
215 +
149 149  {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
150 150  (% class="abc" %)
151 151  1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.