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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -37,6 +37,7 @@
37 37  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 38  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 39  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 +
40 40  (% style="list-style: alphastyle" %)
41 41  1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 42  1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
... ... @@ -75,15 +75,13 @@
75 75  1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 76  1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 77  1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 -1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
79 79  {{/aufgabe}}
80 80  
81 81  {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 82  Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 -G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 -G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 -G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
86 86  
84 +{{formula}}x^{-1} = -x,\quad x^{-1} = \frac{1}{x},\quad x^{-1} = x{{/formula}}
85 +
87 87  (% style="list-style: alphastyle" %)
88 88  1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 89  1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
... ... @@ -92,29 +92,41 @@
92 92  
93 93  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94 94  
95 -{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
94 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
95 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
96 +| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
97 +
98 +(% style="list-style: alphastyle" %)
99 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
100 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
101 +1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
102 +1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
103 +{{/aufgabe}}
104 +
105 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 96  Gegeben sind die Gleichungen:
107 +
97 97  {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
109 +
98 98  (% style="list-style: alphastyle" %)
99 -1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die anstelle von {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} eingesetzt werden können.
100 -1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Lösungen auftreten.
101 -1. Lege fest, welche dieser Zahlen sinnvollerweise durch {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
111 +1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
112 +1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
113 +1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
102 102  {{/aufgabe}}
103 103  
104 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
105 -Führe fort ..
116 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
117 +Ergänze die Wertetabelle:
106 106  
107 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
108 -| 16 | 4 | 2 | | | |
119 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
120 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
109 109  {{/aufgabe}}
110 110  
111 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
123 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
112 112  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
113 113  (% style="list-style: alphastyle" %)
114 114  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
115 115  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
116 116  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
117 -1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
118 118  {{/aufgabe}}
119 119  
120 120  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -125,7 +125,39 @@
125 125  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
126 126  {{/aufgabe}}
127 127  
128 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
139 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
140 +
141 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
142 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
143 +| {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
144 +
145 +(% style="list-style: alphastyle" %)
146 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
147 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
148 +1. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
149 +1. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
150 +{{/aufgabe}}
151 +
152 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
153 +Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
154 +
155 + {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
156 +
157 +(% style="list-style: alphastyle" %)
158 +1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
159 +1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
160 +1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
161 +{{/aufgabe}}
162 +
163 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
164 +Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
165 +(% style="list-style: alphastyle" %)
166 +1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
167 +1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
168 +1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
169 +{{/aufgabe}}
170 +
171 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
129 129  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
130 130  (% style="list-style: alphastyle" %)
131 131  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -134,34 +134,70 @@
134 134  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
135 135  {{/aufgabe}}
136 136  
137 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
180 +== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
138 138  
139 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
140 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
182 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
183 +Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
141 141  
142 -(% class="abc" %)
143 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
144 -1. in Prozent
145 -1. als vollständig gekürzter Bruch
146 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
147 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
148 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
149 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
185 +| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
186 +
187 +(% style="list-style: alphastyle" %)
188 +1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
189 +1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
190 +1. Ergänze die Folge nach rechts und nach links um je zwei weitere Glieder.
191 +1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
150 150  {{/aufgabe}}
151 151  
152 -== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
194 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
195 +Gegeben sind folgende Maßzahlen:
153 153  
154 -{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
155 -Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
197 +{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad 7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad 9 \cdot 10^{-5}{{/formula}}
156 156  
157 -(% class="abc" %)
158 -1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
159 -1. Nenne die Namen der Zahlen.
199 +(% style="list-style: alphastyle" %)
200 +1. Ordne die Maßzahlen der Größe nach.
201 +1. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen. Gehe dabei auch auf die Behauptung ein:
202 +//„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
203 +1. Beschreibe eine Strategie zum Vergleichen von Zahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}}.
160 160  {{/aufgabe}}
161 161  
162 -{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
163 -Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
206 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
207 +Gegeben sind Darstellungen derselben Zahl:
164 164  
209 +{{formula}}0{,}00045,\quad 4{,}5 \cdot 10^{-4},\quad 45 \cdot 10^{-5},\quad 0{,}45 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
210 +
211 +(% style="list-style: alphastyle" %)
212 +1. Überprüfe, dass alle Darstellungen denselben Wert beschreiben.
213 +1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Übersichtlichkeit.
214 +1. Beschreibe, wodurch sich {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen unterscheidet.
215 +1. Erläutere, warum man Zahlen in Normdarstellung angibt.
216 +{{/aufgabe}}
217 +
218 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
219 +Gegeben sind Vorschläge:
220 +
221 +* {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
222 +* {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
223 +* {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
224 +* {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
225 +
226 +(% style="list-style: alphastyle" %)
227 +1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
228 +1. Ordne Fehlerarten zu.
229 +1. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung.
230 +{{/aufgabe}}
231 +
232 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Anwenden und interpretieren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="kombiniert" cc="BY-SA"}}
233 +(% style="list-style: alphastyle" %)
234 +1. Prüfe, ob {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7{,}32 \cdot 10^{10}{{/formula}} Normdarstellungen sind, und korrigiere sie.
235 +1. Ordne die Zahlen {{formula}}7 \cdot 10^{-5},\ 1 \cdot 10^{2},\ 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}} passenden Größenbeispielen zu.
236 +1. Interpretiere eine Taschenrechneranzeige in wissenschaftlicher Schreibweise.
237 +{{/aufgabe}}
238 +
239 +{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="4"}}
240 +Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:
241 +
242 +{{formula}}7 \cdot 10^{-5},\quad 1 \cdot 10^{2},\quad 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
243 +
165 165  Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
166 166  Länge eines Fußballfeldes
167 167  Durchmesser eines Atoms
... ... @@ -168,14 +168,13 @@
168 168  Dicke eines menschlichen Haares
169 169  
170 170  (% class="abc" %)
171 -1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
250 +1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.
172 172  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
173 173  {{/aufgabe}}
174 174  
175 -
176 -{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
254 +{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
177 177  (% class="abc" %)
178 -1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
256 +1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
179 179  [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
180 180  1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
181 181  [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
XWiki.XWikiComments[1]
Autor
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +XWiki.holgerengels
Kommentar
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +gelöscht
Datum
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +2026-04-24 08:42:27.716
Antwort an
... ... @@ -1,0 +1,1 @@
1 +0