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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -5,108 +5,43 @@
5 5  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
6 6  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
7 7  
8 -== Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
9 -
10 -{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
11 -(% style="list-style: alphastyle" %)
12 -1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
13 -1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
14 -{{/aufgabe}}
15 -
16 -{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
17 -(% style="list-style: alphastyle" %)
18 -1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
19 -1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
20 -{{/aufgabe}}
21 -
22 -{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
23 -Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
24 -(% style="list-style: alphastyle" %)
25 -1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
26 -1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
27 -{{/aufgabe}}
28 -
29 -{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 -(% style="list-style: alphastyle" %)
31 -1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
32 -1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
33 -{{/aufgabe}}
34 -
35 -== Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
36 -
37 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 -| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 -(% style="list-style: alphastyle" %)
41 -1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
43 -1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
44 -1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
45 -{{/aufgabe}}
46 -
47 47  {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
48 -Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
9 +Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken und führe fort:
49 49  | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
50 50  | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
51 51  {{/aufgabe}}
52 52  
53 -{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
14 +{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
54 54  Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
55 55  (% style="list-style: alphastyle" %)
56 56  1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
57 57  1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
58 58  1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
20 +1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}}
59 59  {{/aufgabe}}
60 60  
61 61  {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
62 -Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
24 +Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 -Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
67 -S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
68 -S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
69 -S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
70 -S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
71 -S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
72 -S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
27 +{{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
28 +Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
73 73  
74 -(% style="list-style: alphastyle" %)
75 -1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 -1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 -1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 -1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
79 -{{/aufgabe}}
30 +a) Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
31 +Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
80 80  
81 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 -Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 -G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 -G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 -G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
33 +b) Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
86 86  
87 -(% style="list-style: alphastyle" %)
88 -1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 -1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
90 -1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
91 91  {{/aufgabe}}
92 92  
93 -== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94 -
95 -{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 -Gegeben sind die Gleichungen:
97 -{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
98 -(% style="list-style: alphastyle" %)
99 -1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
100 -1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
101 -1. Lege fest, welche dieser Zahlen sinnvollerweise durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
102 -{{/aufgabe}}
103 -
104 104  {{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
105 105  Führe fort ..
39 +
106 106  | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
107 107  | 16 | 4 | 2 | | | |
108 108  {{/aufgabe}}
109 109  
44 +
110 110  {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
111 111  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
112 112  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -113,6 +113,7 @@
113 113  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
114 114  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
115 115  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
51 +1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
116 116  {{/aufgabe}}
117 117  
118 118  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -123,21 +123,6 @@
123 123  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
124 124  {{/aufgabe}}
125 125  
126 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
127 -
128 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
129 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
130 -
131 -(% class="abc" %)
132 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
133 -1. in Prozent
134 -1. als vollständig gekürzter Bruch
135 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
136 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
137 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
138 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
139 -{{/aufgabe}}
140 -
141 141  {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
142 142  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
143 143  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -147,32 +147,41 @@
147 147  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
148 148  {{/aufgabe}}
149 149  
150 -== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
151 -
152 152  {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
153 -Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
72 +1) Begründe, ob die Zahlen in a) und b) in Normdarstellung angegeben sind.
73 +Verbessere gegebenenfalls.
154 154  
155 -(% class="abc" %)
156 -1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
157 -1. Nenne die Namen der Zahlen.
75 +a) {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}}
76 +
77 +b) {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}
78 +
79 +2) Gib die großen Zahlen aus a) und b) ausgesprochen in Worten an.
80 +
158 158  {{/aufgabe}}
159 159  
160 160  {{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
161 -Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
84 +Gegeben sind die folgenden Zahlen in der Form von Zehnerpotenzen:
162 162  
86 +{{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}},
87 +{{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}},
88 +{{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}
89 +
163 163  Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
164 164  Länge eines Fußballfeldes
165 165  Durchmesser eines Atoms
166 166  Dicke eines menschlichen Haares
167 167  
168 -(% class="abc" %)
169 -1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
170 -1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
95 +a) Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
96 +
97 +b) Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
98 +
99 +
100 +
171 171  {{/aufgabe}}
172 172  
173 173  
174 174  {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
175 -(% class="abc" %)
105 +(% style="list-style: alphastyle" %)
176 176  1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
177 177  [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
178 178  1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
... ... @@ -180,4 +180,23 @@
180 180  [[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
181 181  {{/aufgabe}}
182 182  
113 +{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
114 +Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}
115 +
116 +
117 +1. Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
118 + a) in Prozent
119 + b) als vollständig gekürzter Bruch
120 + c) als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
121 + d) als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
122 + e) als Zahl in Normdarstellung
123 +
124 +1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
125 +
126 +
127 +
128 +
129 +{{/aufgabe}}
130 +
183 183  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}
132 +