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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -28,103 +28,56 @@
28 28  
29 29  {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 30  (% style="list-style: alphastyle" %)
31 -1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
31 +1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} eine Quadratzahl ist. Begründe deine Entscheidung mithilfe einer geeigneten Darstellung als Potenz von Potenzen.
32 32  1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
33 33  {{/aufgabe}}
34 34  
35 -== Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
35 +== Potenz mit negativen Exponenten ==
36 36  
37 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 -| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 -(% style="list-style: alphastyle" %)
41 -1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
43 -1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
44 -1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
45 -{{/aufgabe}}
46 -
47 47  {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
48 -Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
38 +Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:
49 49  | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
50 50  | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
51 51  {{/aufgabe}}
52 52  
53 -{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
43 +{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
54 54  Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
55 55  (% style="list-style: alphastyle" %)
56 56  1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
57 57  1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
58 58  1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
49 +1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}}
59 59  {{/aufgabe}}
60 60  
61 61  {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
62 -Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
53 +Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 -Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
67 -S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
68 -S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
69 -S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
70 -S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
71 -S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
72 -S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
56 +{{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
57 +Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
73 73  
74 -(% style="list-style: alphastyle" %)
75 -1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 -1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 -1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 -1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
79 -{{/aufgabe}}
59 +a) Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
60 +Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
80 80  
81 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 -Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 -G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 -G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 -G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
62 +b) Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
86 86  
87 -(% style="list-style: alphastyle" %)
88 -1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 -1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
90 -1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
91 91  {{/aufgabe}}
92 92  
93 -== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
66 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
67 +Führe fort ..
94 94  
95 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
97 -| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
98 -
99 -(% style="list-style: alphastyle" %)
100 -1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
101 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
102 -1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
103 -1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
69 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
70 +| 16 | 4 | 2 | | | |
104 104  {{/aufgabe}}
105 105  
106 -{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
107 -Gegeben sind die Gleichungen:
108 -{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
109 -(% style="list-style: alphastyle" %)
110 -1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
111 -1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
112 -1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
113 -{{/aufgabe}}
114 114  
115 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
116 -Ergänze die Wertetabelle:
117 -
118 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
119 -| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
120 -{{/aufgabe}}
121 -
122 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
74 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
123 123  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
124 124  (% style="list-style: alphastyle" %)
125 125  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
126 126  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
127 127  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
80 +1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
128 128  {{/aufgabe}}
129 129  
130 130  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -135,40 +135,7 @@
135 135  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
136 136  {{/aufgabe}}
137 137  
138 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
139 -
140 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
141 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
142 -| 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
143 -
144 -(% style="list-style: alphastyle" %)
145 -1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
146 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
147 -1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
148 -1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
149 -{{/aufgabe}}
150 -
151 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
152 -Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
153 -{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
154 -
155 -(% style="list-style: alphastyle" %)
156 -1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
157 -1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
158 -1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
159 -1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
160 -{{/aufgabe}}
161 -
162 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
163 -Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
164 -
165 -(% style="list-style: alphastyle" %)
166 -1. Berechne:
167 - {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
168 -1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
169 -{{/aufgabe}}
170 -
171 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
91 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
172 172  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
173 173  (% style="list-style: alphastyle" %)
174 174  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -177,8 +177,6 @@
177 177  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
178 178  {{/aufgabe}}
179 179  
180 -== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
181 -
182 182  {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
183 183  Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
184 184  
... ... @@ -200,6 +200,16 @@
200 200  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
201 201  {{/aufgabe}}
202 202  
121 +
122 +{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
123 +(% class="abc" %)
124 +1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
125 +[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
126 +1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
127 +[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
128 +[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
129 +{{/aufgabe}}
130 +
203 203  {{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
204 204  Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
205 205  
... ... @@ -213,13 +213,4 @@
213 213  1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
214 214  {{/aufgabe}}
215 215  
216 -{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
217 -(% class="abc" %)
218 -1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
219 -[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
220 -1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
221 -[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
222 -[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
223 -{{/aufgabe}}
224 -
225 225  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}