Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -5,7 +5,7 @@
  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
  [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
--== Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
++== Potenz als Schreibweise ==
  {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  (% style="list-style: alphastyle" %)
@@ -19,113 +19,61 @@
 . Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
--1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
++1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
++1. Untersuche im Zusammenhang mit deiner Vermutung die Aussage:
++   {{formula}}\text{Für alle } n \in \mathbb{N} \text{ ist } n^4 \text{ eine Quadratzahl.}{{/formula}} Entscheide und begründe.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
--1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
--{{/aufgabe}}
++== Potenz mit negativen Exponenten ==
--== Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
--
--{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--| 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
--1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
--1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
--{{/aufgabe}}
--
  {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
--Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
++Bestimme die fehlenden Zahlen in den Lücken:
  | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
  | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}}  | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
  Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
 . {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
 . {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
++1. {{formula}}27^{-\frac{1}{3}} {{/formula}}
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
--Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
++Nenne die Potenzschreibweise von {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}}.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
--S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
--S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
--S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
--S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
--S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
--S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
++{{aufgabe id="Aussage zu rationalen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
++Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
--1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
--1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
--1. Gib  eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
--{{/aufgabe}}
++a) Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
++Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
--{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
--G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
--G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
--G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
++b) Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
--1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe:   {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
--1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
  {{/aufgabe}}
--== Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
++{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
++Führe fort ..
--{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
--1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
--1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
++| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
++| 16 | 4 | 2 | | | |
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind die Gleichungen:
--{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
--1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
--1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
--{{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
--Ergänze die Wertetabelle:
--
--| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
--| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
 . {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
 . {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
++1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
@@ -136,39 +136,7 @@
 . {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
  {{/aufgabe}}
--== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
--
--{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--| 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
--1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
--1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
--{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
--1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
--1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
--1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Berechne: {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
--1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
++{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
@@ -177,8 +177,6 @@
 . {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
  {{/aufgabe}}
--== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
--
  {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
  Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
@@ -200,6 +200,16 @@
 . Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
  {{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
++(% class="abc" %)
++1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
++[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
++1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
++[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
++[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
++{{/aufgabe}}
++
  {{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
  Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
@@ -213,13 +213,4 @@
 . Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
--(% class="abc" %)
--1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
--[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
--1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
--[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
--[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
--{{/aufgabe}}
--
  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

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