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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -37,7 +37,6 @@
37 37  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 38  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 39  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 -
41 41  (% style="list-style: alphastyle" %)
42 42  1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
43 43  1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
... ... @@ -63,7 +63,7 @@
63 63  Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
64 64  {{/aufgabe}}
65 65  
66 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
65 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="5" quelle="nach eigener Skizze" cc="BY-SA"}}
67 67  Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
68 68  S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
69 69  S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
... ... @@ -76,56 +76,34 @@
76 76  1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
77 77  1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
78 78  1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
79 -1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
78 +1. Finde eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}.
80 80  {{/aufgabe}}
81 81  
82 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
83 -Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
84 -G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
85 -G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
86 -G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
87 -
81 +{{aufgabe id="Aussage zu negativen Exponenten begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="5"}}
82 +Ein Schüler behauptet: //„{{formula}}x^{-1}{{/formula}} ist dasselbe wie {{formula}}-x{{/formula}}.“//
88 88  (% style="list-style: alphastyle" %)
89 -1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
90 -1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
91 -1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
84 +1. Untersuche, ob diese Aussage für alle Zahlen wahr ist.
85 +Begründe deine Entscheidung mithilfe eines geeigneten Beispiels oder Gegenbeispiels.
86 +1. Erläutere, warum der Term {{formula}}0^{-1}{{/formula}} nicht definiert ist.
92 92  {{/aufgabe}}
93 93  
94 94  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
95 95  
96 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
97 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
98 -| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
91 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
92 +Führe fort ..
99 99  
100 -(% style="list-style: alphastyle" %)
101 -1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
102 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
103 -1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
104 -1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
94 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
95 +| 16 | 4 | 2 | | | |
105 105  {{/aufgabe}}
106 106  
107 -{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
108 -Gegeben sind die Gleichungen:
109 -{{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
110 -(% style="list-style: alphastyle" %)
111 -1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
112 -1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
113 -1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
114 -{{/aufgabe}}
115 115  
116 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
117 -Ergänze die Wertetabelle:
118 -
119 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
120 -| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
121 -{{/aufgabe}}
122 -
123 -{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
99 +{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
124 124  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
125 125  (% style="list-style: alphastyle" %)
126 126  1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
127 127  1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
128 128  1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
105 +1. {{formula}}a^{\frac{8}{3}}{{/formula}}
129 129  {{/aufgabe}}
130 130  
131 131  {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -136,39 +136,7 @@
136 136  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
137 137  {{/aufgabe}}
138 138  
139 -== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
140 -
141 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
142 -Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
143 -| 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
144 -
145 -(% style="list-style: alphastyle" %)
146 -1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
147 -1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
148 -1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
149 -1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
150 -{{/aufgabe}}
151 -
152 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
153 -Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
154 -{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
155 -
156 -(% style="list-style: alphastyle" %)
157 -1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
158 -1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
159 -1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
160 -1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
161 -{{/aufgabe}}
162 -
163 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
164 -Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
165 -
166 -(% style="list-style: alphastyle" %)
167 -1. Berechne: {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
168 -1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
169 -{{/aufgabe}}
170 -
171 -{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
116 +{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
172 172  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
173 173  (% style="list-style: alphastyle" %)
174 174  1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
... ... @@ -177,6 +177,21 @@
177 177  1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
178 178  {{/aufgabe}}
179 179  
125 +== Potenzen mit rationalen Exponenten ==
126 +
127 +{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
128 +Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
129 +
130 +(% class="abc" %)
131 +1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
132 +1. in Prozent
133 +1. als vollständig gekürzter Bruch
134 +1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
135 +1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
136 +1. als Zahl in Normdarstellung)))
137 +1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
138 +{{/aufgabe}}
139 +
180 180  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
181 181  
182 182  {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
... ... @@ -200,19 +200,7 @@
200 200  1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
201 201  {{/aufgabe}}
202 202  
203 -{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
204 -Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
205 205  
206 -(% class="abc" %)
207 -1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
208 -1. in Prozent
209 -1. als vollständig gekürzter Bruch
210 -1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
211 -1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
212 -1. als Zahl in Normdarstellung)))
213 -1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
214 -{{/aufgabe}}
215 -
216 216  {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
217 217  (% class="abc" %)
218 218  1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.