Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

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Inhalt

@@ -37,7 +37,6 @@
  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
 . Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
@@ -94,21 +94,21 @@
  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
++Gegeben ist folgender Zusammenhang:
++| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
++| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
++
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
--1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
--1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
++1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
++1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
++1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
++1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Gegeben sind die Gleichungen:
--
  {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
 . Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
@@ -120,9 +120,9 @@
  | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
  | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
--{{/aufgabe}}
++{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
@@ -137,43 +137,24 @@
 . {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
 . {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
  {{/aufgabe}}
++{{/aufgabe}}
  == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
--{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
++{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen der Form m/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++Gegeben ist folgender Zusammenhang:
--  | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
++| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
++| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
--1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
--1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
++1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
++1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
++1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
++1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
--
--  {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
--1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
--1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
--1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
--1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
--1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
++{{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
  Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
@@ -182,72 +182,28 @@
 . {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
  {{/aufgabe}}
--== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
++{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
++{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
--{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--
--| 10000 | 1000 | 100 | 10 | 1 |
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
--1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach rechts um zwei weitere Glieder.
--1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
++1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
++1. Untersuche weitere Beispiele eigener Wahl (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
++1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
++1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und einschätzen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind folgende vier Maßzahlen von Größenwerten:
++== Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
--{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad 7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad 9 \cdot 10^{-5}{{/formula}}
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Ordne die Maßzahlen der Größe nach (von klein nach groß).
--1. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
--1. Eine Schülerin behauptet: //„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
--Nimm Stellung zu dieser Aussage und erläutere den Denkfehler.
--1. Beschreibe eine Strategie, mit der man Maßzahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}} mit {{formula}}1\le a < 10{{/formula}} schnell vergleichen kann.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind die folgenden Darstellungen derselben Zahl:
--
--{{formula}}0{,}00045,\quad 4{,}5 \cdot 10^{-4},\quad 45 \cdot 10^{-5},\quad 0{,}45 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Überprüfe, dass alle Darstellungen denselben Wert beschreiben.
--1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Übersichtlichkeit und Lesbarkeit.
--1. Beschreibe, welche Eigenschaft die Darstellung {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen unterscheidet.
--1. Erläutere, warum man Zahlen üblicherweise in der sogenannten Normdarstellung angibt.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen und korrigieren" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind Vorschläge von Schülerinnen und Schülern zur Normdarstellung.
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Prüfe die folgenden Darstellungen. Entscheide jeweils, ob es sich um eine korrekte Normdarstellung handelt. Begründe und korrigiere falsche Darstellungen.
--   {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
--   {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
--   {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
--   {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
--1. (((Ordne die fehlerhaften Darstellungen einer der folgenden Fehlerarten zu:
--   * falscher Exponent
--   * Mantisse nicht im Intervall {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}}
--   * Dezimalverschiebung inkonsistent
--)))
--1. Formuliere die Bedingungen für eine Normdarstellung der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}}.
--1. Gib zu {{formula}}0{,}00072{{/formula}} zwei verschiedene Darstellungen an und kennzeichne diejenige, die eine Normdarstellung ist.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Normdarstellung prüfen und benennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
++{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
  Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
  (% class="abc" %)
--1. Prüfe, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind, und korrigiere sie gegebenenfalls.
--1. Gib die zugehörigen Zahlennamen an.
++1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
++1. Nenne die Namen der Zahlen.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="4"}}
++{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
  Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
  Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
@@ -256,13 +256,26 @@
  Dicke eines menschlichen Haares
  (% class="abc" %)
--1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.
++1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
 . Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
++{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
++Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
++
  (% class="abc" %)
--1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
++1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
++1. in Prozent
++1. als vollständig gekürzter Bruch
++1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
++1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
++1. als Zahl in Normdarstellung)))
++1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
++(% class="abc" %)
++1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
  [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
 . Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
  [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
@@ -269,13 +269,4 @@
  [[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Darstellungen vergleichen und bewerten" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist die Zahl {{formula}}0{,}0004{{/formula}}.
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahl als Zehnerpotenz und in Normdarstellung dar.
--1. Gib eine weitere Darstellung mit negativem Exponenten an.
--1. Vergleiche die Darstellungen und erläutere, welche Vorteile die Normdarstellung im Vergleich zur Dezimalschreibweise hat.
--{{/aufgabe}}
--
  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

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