Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

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Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -37,7 +37,6 @@
  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
 . Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
@@ -76,13 +76,15 @@
 . Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
 . Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
 . Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
++1. Gib  eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
  Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
++G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
++G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
++G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
--{{formula}}x^{-1} = -x,\quad x^{-1} = \frac{1}{x},\quad x^{-1} = x{{/formula}}
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
 . Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe:   {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
@@ -92,21 +92,21 @@
  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--| 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
++Gegeben ist folgender Zusammenhang:
++| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
++| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
++
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
--1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
--1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
++1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
++1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
++1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
++1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Gegeben sind die Gleichungen:
--
  {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
 . Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
@@ -138,34 +138,37 @@
  == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
--{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--| {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
++{{aufgabe id="Potenzen mit rationalen Exponenten – Struktur aufbauen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++Gegeben ist folgender Zusammenhang:
++| {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
++| 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
++
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
--1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
--1. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
++1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
++1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
++1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
++1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
++{{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
--  {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
 . Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
--1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
++1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
++1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
++Verwende die festgelegte Definition von {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}}.
++
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
--1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
--1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
++1. Berechne:
++   {{formula}}16^{\frac{3}{2}},\quad 27^{\frac{2}{3}},\quad 81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
++1. Gib die Zwischenschritte in der Form {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} an.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
@@ -179,64 +179,47 @@
  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
--{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
++{{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
++Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
--| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
--1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach rechts und nach links um je zwei weitere Glieder.
--1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
++(% class="abc" %)
++1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
++1. Nenne die Namen der Zahlen.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
++{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
++Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
--{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad -7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad -9 \cdot 10^{-5},\quad 3,5 \cdot 10^5{{/formula}}
++Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
++Länge eines Fußballfeldes
++Durchmesser eines Atoms
++Dicke eines menschlichen Haares
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß).
--
--1. Begründe deine Ordnung ausschließlich mithilfe der Exponenten und Vorfaktoren, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
--
--1. Beschreibe eine allgemeine Strategie zum Größenvergleich von Zahlen der Darstellungsform {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}} mit {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}}.
++(% class="abc" %)
++1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
++1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
++{{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
++Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
--{{formula}}0{,}00045,\quad 4{,}5 \cdot 10^{-4},\quad 45 \cdot 10^{-5},\quad 0{,}45 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Untersuche, ob die Darstellungen denselben Zahlenwert besitzen, und begründe dein Ergebnis.
--1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Lesbarkeit und ihrer Eignung zur Bestimmung der Größenordnung.
--1. Beschreibe die Eigenschaft, durch die sich {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen Darstellungen unterscheidet.
--1. Begründe, warum Zahlen üblicherweise in Normdarstellung angegeben werden.
++(% class="abc" %)
++1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
++1. in Prozent
++1. als vollständig gekürzter Bruch
++1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
++1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
++1. als Zahl in Normdarstellung)))
++1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind Vorschläge:
--
--* {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
--* {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
--* {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
--* {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
--1. Ordne Fehlerarten zu.
--1. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung.
++{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
++(% class="abc" %)
++1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
++[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
++1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
++[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
++[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Normdarstellung – Anwenden und interpretieren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings (überarbeitet von Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Prüfe, ob {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7{,}32 \cdot 10^{10}{{/formula}} Normdarstellungen sind, und korrigiere sie.
--1. Ordne die Zahlen {{formula}}7 \cdot 10^{-5},\ 1 \cdot 10^{2},\ 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}} passenden Größenbeispielen zu.
--1. (((Interpretieren der WTR-Anzeige: Gib die dargestellte Zahl in Normdarstellung (wissenschaftlicher Schreibweise) und als Dezimalzahl an.
--[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]] [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
--)))
--{{/aufgabe}}
--
  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

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...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-XWiki.holgerengels

Kommentar

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-gelöscht

Datum

...	...	@@ -1,1 +1,0 @@
1		-2026-04-24 08:42:27.716

Antwort an

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