BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

1  Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen  (2 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \((-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4\).
2. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.

2  Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen  (3 min) 𝕃

1. Berechne die Werte der folgenden Terme: \(2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2\).
2. Untersuche die Gleichung \(a^b = b^a\). Finde Beispiele und Gegenbeispiele.

3  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind die Terme \((5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1\).

1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen \((a^m)^n\) und einer Potenz der Form \(a^k\) und gib an, wie sich der Exponent \(k\) aus \(m\) und \(n\) ergibt.

4  Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen  (4 min) 𝕃

1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^4\) das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
2. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl \(n\) die Zahl \(n^6\) das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.

5  Zahlenfolge und Potenzschreibweise  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die fünf Zahlen in der Form \(2^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
4. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form \(2^n\) zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.

6  Wertetabelle mit negativen Exponenten  (2 min) 𝕃

Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:

7  Von der Potenz zum Bruch  (2 min) 𝕃

Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.

1. \(3^{-5}\)
2. \( a^{-b}\)
3. \(8 \cdot b^{-2}\)

8  Vom Bruch zum negativen Exponenten  (1 min) 𝕃

Gib \( \frac{1}{8} \) in Potenzschreibweise an.

9  Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen  (6 min) 𝕃

Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl \(\frac{1}{81}\) als Potenz \(b^n\) dar. Sie machen folgende Angaben:
S1: Für meine Darstellung gilt \(b = 3\).
S2: Für meine Darstellung gilt \(b = \frac{1}{3}\).
S3: Für meine Darstellung gilt \(b = 9\).
S4: Für meine Darstellung gilt \(n = 2\).
S5: Für meine Darstellung gilt \(n = -4\).
S6: Für meine Darstellung gilt \(n = -1\).

1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von \(\frac{1}{81}\), falls möglich.
2. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
3. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.

10  Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen  (6 min) 𝕃

Gegeben sind drei Gleichungen (\(x \in \mathbb{R},\ x \ne 0\)):

1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
2. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe:   \(1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1\)
3. Begründe, warum der Fall \(x=0\) ausgeschlossen werden muss.

11  Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(2^k\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
4. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form \(2^k\) zu und erläutere, warum dabei Exponenten k der Form \(\frac{1}{n}\) auftreten.

12  Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären  (5 min) 𝕃

Gegeben sind die Gleichungen:

1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für \(16^{\frac{1}{2}}\), \(8^{\frac{1}{3}}\) und \(16^{\frac{1}{4}}\) in Frage kommen.
2. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
3. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.

13  Wertetabelle mit Exponenten 1/n  (3 min) 𝕃

Ergänze die Wertetabelle:

14  Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(81^{\frac{1}{2}}\)
2. \(8^{\frac{1}{3}}\)
3. \(0,0016^{\frac{1}{4}}\)

15  Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise  (2 min) 𝕃

Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.

1. \(\sqrt{3^5}\)
2. \(\sqrt[4]{9^2}\)
3. \(\sqrt[a]{b^c}\)

16  Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n  (5 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(2^k\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
4. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form \(2^k\) zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form \(\frac{m}{n}\) auftreten.

17  Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen  (8 min) 𝕃

Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:

  \(a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}\)

1. Berechne für \(a=16,\ m=3,\ n=2\) und \(a=8,\ m=2,\ n=3\) jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
2. Untersuche weitere Beispiele (z.B. \(a=-8,\ m=2,\ n=3\)) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
3. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.

18  Rationale Exponenten – Definition anwenden  (3 min) 𝕃

Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung \((a^{\frac{1}{n}})^m\).

1. \(16^{\frac{3}{2}}\)
2. \(27^{\frac{2}{3}}\)
3. \(81^{\frac{3}{4}}\)

19  Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise  (5 min) 𝕃

Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:

1. \(a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}\)
2. \(\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}\)
3. \(\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}\)
4. \(\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}\)

20  Zehnerpotenzen – Muster erkennen  (4 min) 𝕃

Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:

1. Stelle die Zahlen in der Form \(10^n\) dar.
2. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
3. Ergänze die Folge nach rechts und nach links um je zwei weitere Glieder.
4. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.

21  Zehnerpotenzen – Größen vergleichen  (5 min) 𝕃

Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:

1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß).

1. Begründe deine Ordnung ausschließlich mithilfe der Exponenten und Vorfaktoren, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.

1. Beschreibe eine allgemeine Strategie zum Größenvergleich von Zahlen der Darstellungsform \(\pm a \cdot 10^n\) mit \(1 \le a < 10\).

22  Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen  (4 min) 𝕃

Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:

1. Untersuche, ob die Darstellungen denselben Zahlenwert besitzen, und begründe dein Ergebnis.
2. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Lesbarkeit und ihrer Eignung zur Bestimmung der Größenordnung.
3. Beschreibe die Eigenschaft, durch die sich \(4{,}5 \cdot 10^{-4}\) von den anderen Darstellungen unterscheidet.
4. Begründe, warum Zahlen üblicherweise in Normdarstellung angegeben werden.

23  Normdarstellung – Fehler erkennen  (5 min)

Gegeben sind Vorschläge:

• \(0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}\)
• \(0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}\)
• \(4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}\)
• \(4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}\)

1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
2. Ordne Fehlerarten zu.
3. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung.

24  Normdarstellung – Anwenden und interpretieren  (4 min)

1. Prüfe, ob \(123 \cdot 10^{12}\) und \(7{,}32 \cdot 10^{10}\) Normdarstellungen sind, und korrigiere sie.
2. Ordne die Zahlen \(7 \cdot 10^{-5},\ 1 \cdot 10^{2},\ 1 \cdot 10^{-10}\) passenden Größenbeispielen zu.

3. Interpretieren der WTR-Anzeige: Gib die dargestellte Zahl in Normdarstellung (wissenschaftlicher Schreibweise) und als Dezimalzahl an.