Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

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Inhalt

@@ -76,6 +76,7 @@
 . Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
 . Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
 . Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
++1. Gib  eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
@@ -140,16 +140,16 @@
  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--| {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
++| {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
++1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
 . Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
--1. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
--1. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
++1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
++1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
    {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
@@ -157,7 +157,8 @@
  (% style="list-style: alphastyle" %)
 . Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
 . Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
--1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
++1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
++1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
@@ -191,52 +191,92 @@
 . Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
++{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und einschätzen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++Gegeben sind folgende vier Maßzahlen von Größenwerten:
--{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad -7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad -9 \cdot 10^{-5},\quad 3,5 \cdot 10^5{{/formula}}
++{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad 7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad 9 \cdot 10^{-5}{{/formula}}
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß).
--
--1. Begründe deine Ordnung ausschließlich mithilfe der Exponenten und Vorfaktoren, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
--
--1. Beschreibe eine allgemeine Strategie zum Größenvergleich von Zahlen der Darstellungsform {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}} mit {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}}.
++1. Ordne die Maßzahlen der Größe nach (von klein nach groß).
++1. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
++1. Eine Schülerin behauptet: //„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
++Nimm Stellung zu dieser Aussage und erläutere den Denkfehler.
++1. Beschreibe eine Strategie, mit der man Maßzahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}} mit {{formula}}1\le a < 10{{/formula}} schnell vergleichen kann.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
++Gegeben sind die folgenden Darstellungen derselben Zahl:
  {{formula}}0{,}00045,\quad 4{,}5 \cdot 10^{-4},\quad 45 \cdot 10^{-5},\quad 0{,}45 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Untersuche, ob die Darstellungen denselben Zahlenwert besitzen, und begründe dein Ergebnis.
--1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Lesbarkeit und ihrer Eignung zur Bestimmung der Größenordnung.
--1. Beschreibe die Eigenschaft, durch die sich {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen Darstellungen unterscheidet.
--1. Begründe, warum Zahlen üblicherweise in Normdarstellung angegeben werden.
++1. Überprüfe, dass alle Darstellungen denselben Wert beschreiben.
++1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Übersichtlichkeit und Lesbarkeit.
++1. Beschreibe, welche Eigenschaft die Darstellung {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen unterscheidet.
++1. Erläutere, warum man Zahlen üblicherweise in der sogenannten Normdarstellung angibt.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind Vorschläge:
++{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen und korrigieren" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++Gegeben sind Vorschläge von Schülerinnen und Schülern zur Normdarstellung.
--* {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
--* {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
--* {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
--* {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
--1. Ordne Fehlerarten zu.
--1. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung.
++1. Prüfe die folgenden Darstellungen. Entscheide jeweils, ob es sich um eine korrekte Normdarstellung handelt. Begründe und korrigiere falsche Darstellungen.
++   {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
++   {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
++   {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
++   {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
++1. (((Ordne die fehlerhaften Darstellungen einer der folgenden Fehlerarten zu:
++   * falscher Exponent
++   * Mantisse nicht im Intervall {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}}
++   * Dezimalverschiebung inkonsistent
++)))
++1. Formuliere die Bedingungen für eine Normdarstellung der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}}.
++1. Gib zu {{formula}}0{,}00072{{/formula}} zwei verschiedene Darstellungen an und kennzeichne diejenige, die eine Normdarstellung ist.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Normdarstellung – Anwenden und interpretieren" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings (überarbeitet von Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Normdarstellung prüfen und benennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
++Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:
++
++{{formula}}123 \cdot 10^{12},\quad 7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
++
++(% class="abc" %)
++1. Prüfe, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind, und korrigiere sie gegebenenfalls.
++1. Gib die zugehörigen Zahlennamen an.
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="4"}}
++Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:
++
++{{formula}}7 \cdot 10^{-5},\quad 1 \cdot 10^{2},\quad 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
++
++Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
++Länge eines Fußballfeldes
++Durchmesser eines Atoms
++Dicke eines menschlichen Haares
++
++(% class="abc" %)
++1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.
++1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
++(% class="abc" %)
++1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
++[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
++1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
++[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
++[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Darstellungen vergleichen und bewerten" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
++Gegeben ist folgende Zahl(darstellung):
++
++  {{formula}}0{,}0004{{/formula}}.
++
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Prüfe, ob {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7{,}32 \cdot 10^{10}{{/formula}} Normdarstellungen sind, und korrigiere sie.
--1. Ordne die Zahlen {{formula}}7 \cdot 10^{-5},\ 1 \cdot 10^{2},\ 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}} passenden Größenbeispielen zu.
--1. (((Interpretieren der WTR-Anzeige: Gib die dargestellte Zahl in Normdarstellung (wissenschaftlicher Schreibweise) und als Dezimalzahl an.
--[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]] [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
--)))
++1. Stelle die Zahl als Zehnerpotenz und in Normdarstellung dar.
++1. Gib eine weitere Darstellung mit negativem Exponenten an.
++1. Vergleiche die Darstellungen und erläutere, welche Vorteile die Normdarstellung im Vergleich zur Dezimalschreibweise hat.
  {{/aufgabe}}
  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

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