Änderungen von Dokument BPE 12.1 Potenzen mit rationalem Exponenten, Normdarstellung

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

@@ -19,31 +19,6 @@
 . Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Dritte Wurzel – geschickt rechnen und strukturieren" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Bestimme ohne Taschenrechner möglichst geschickt:
--
--{{formula}}
--\sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}
--{{/formula}}
--
--Vergleiche anschließend verschiedene Lösungswege:
--
--* geschicktes Rechnen
--* algebraisches Strukturieren
--* geometrisches Veranschaulichen
--
--Hinweise:
--
--{{formula}}
--1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2
--{{/formula}}
--
--{{formula}}
--(a+b)^3=a^3+\dots
--{{/formula}}
--
--{{/aufgabe}}
--
  {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
  Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
  (% style="list-style: alphastyle" %)
@@ -204,82 +204,44 @@
  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
--{{aufgabe id="Gleicher Wert – verschiedene Darstellungen" afb="II-III" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist die Zahl {{formula}}3{,}1415{{/formula}}.
++{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Bestimme Darstellungen der Form {{formula}}a_n \cdot 10^n{{/formula}} für mindestens drei verschiedene Exponenten {{formula}}n{{/formula}}.
--1. Beschreibe, wie sich {{formula}}a_n{{/formula}} verändert, wenn {{formula}}n{{/formula}} vergrößert bzw. verkleinert wird.
--1. Formuliere einen Zusammenhang zwischen {{formula}}a_n{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}}, der für alle deine Darstellungen gilt.
--{{/aufgabe}}
++| 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
--{{aufgabe id="Gleicher Wert – Zusammenhang von a und n" afb="II-III" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Rathgeb (überarbeitet)" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist die Zahl {{formula}}3{,}1415{{/formula}}.
--
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Bestimme zwei verschiedene Darstellungen der Zahl in der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}}.
--1. Vergleiche deine Darstellungen und beschreibe, wie sich {{formula}}a{{/formula}} verändert, wenn {{formula}}n{{/formula}} verändert wird.
--1. Formuliere einen Zusammenhang zwischen {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}}, der für alle Darstellungen dieser Zahl gilt.
++1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
++1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
++1. Ergänze die Folge nach rechts und nach links um je zwei weitere Glieder.
++1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und Strategie entwickeln" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
++{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++Gegeben sind folgende vier Maßzahlen von Größenwerten:
--{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad -7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad -9 \cdot 10^{-5},\quad 3{,}5 \cdot 10^5{{/formula}}
++{{formula}}3 \cdot 10^5,\quad 7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad 9 \cdot 10^{-5}{{/formula}}
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß).
--1. Begründe deine Ordnung ausschließlich mithilfe der Exponenten und Vorfaktoren, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
--1. Formuliere und begründe eine allgemeine Strategie zum Vergleich von Zahlen der Form {{formula}}\pm a_n \cdot 10^n{{/formula}}.
++1. Ordne die Maßzahlen der Größe nach (von klein nach groß).
++1. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen. Gehe dabei auch auf die Behauptung ein:
++   //„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
++1. Beschreibe eine Strategie, mit der man Maßzahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}} mit {{formula}}1\le a < 10{{/formula}} schnell vergleichen kann.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Kommaverschiebung und Zehnerpotenzen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist {{formula}}a = 3{,}1415{{/formula}}.
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. (((Definiere:
--   * {{formula}}b{{/formula}} entsteht aus {{formula}}a{{/formula}} durch Verschiebung des Kommas um 2 Stellen nach rechts.
--   * {{formula}}c{{/formula}} entsteht aus {{formula}}a{{/formula}} durch Verschiebung des Kommas um 2 Stellen nach links.
--
--   Bestimme {{formula}}b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}}.
--)))
--1. Stelle {{formula}}b{{/formula}} und {{formula}}c{{/formula}} in der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}} dar.
--1. Bestimme {{formula}}n{{/formula}} so, dass {{formula}}0{,}0031415 = a \cdot 10^n{{/formula}} gilt.
--1. Formuliere einen allgemeinen Zusammenhang zwischen der Verschiebung des Kommas und der Multiplikation mit {{formula}}10^n{{/formula}}.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Eine Zahl – verschiedene Darstellungen vergleichen" afb="II-III" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist die Zahl {{formula}}0{,}000034{{/formula}}.
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Bestimme drei verschiedene Darstellungen der Zahl in der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}}.
--1. Vergleiche deine Darstellungen hinsichtlich der Größe von {{formula}}a{{/formula}} und des Exponenten {{formula}}n{{/formula}}.
--1. Wähle die Darstellung, für die {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}} gilt, und begründe, warum diese Darstellung besonders geeignet ist.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Zahlen in der Form {{formula~}~}a_n \cdot 10^n{{/formula~}~} darstellen und deuten" afb="II" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben ist die Zahl {{formula}}0{,}000034{{/formula}}.
--
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Bestimme drei verschiedene Darstellungen der Zahl in der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}}.
--1. Wähle darunter die Darstellung, für die {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}} gilt.
--1. Erläutere, wodurch sich diese Darstellung von den anderen unterscheidet.
--{{/aufgabe}}
--
  {{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind die Zahldarstellungen:
++Gegeben sind die folgenden Darstellungen derselben Zahl:
--{{formula}}0{,}000034,\quad 3{,}4 \cdot 10^{-5},\quad 34 \cdot 10^{-6},\quad 0{,}34 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
++{{formula}}0{,}00045,\quad 4{,}5 \cdot 10^{-4},\quad 45 \cdot 10^{-5},\quad 0{,}45 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Untersuche, ob die Darstellungen denselben Zahlenwert besitzen, und begründe dein Ergebnis.
--1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Eignung zur schnellen Bestimmung der Größenordnung.
--1. Wähle eine geeignete Darstellung aus und begründe deine Entscheidung.
++1. Überprüfe, dass alle Darstellungen denselben Wert beschreiben.
++1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Übersichtlichkeit und Lesbarkeit.
++1. Beschreibe, welche Eigenschaft die Darstellung {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen unterscheidet.
++1. Erläutere, warum man Zahlen üblicherweise in der sogenannten Normdarstellung angibt.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind Vorschläge:
--
++{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen und korrigieren" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++Gegeben sind Vorschläge von Schülerinnen und Schülern zur Normdarstellung.
  * {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
  * {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
  * {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
@@ -286,40 +286,60 @@
  * {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
  (% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Prüfe die Darstellungen und korrigiere falsche.
--1. Begründe deine Korrekturen.
--1. Formuliere Bedingungen für eine Normdarstellung der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}} und erläutere, warum diese Bedingungen eine eindeutige Darstellung gewährleisten.
++1. Entscheide jeweils, ob es sich um eine korrekte Darstellung, speziell Normdarstellung handelt. Begründe und korrigiere falsche Darstellungen.
++1. (((Ordne die fehlerhaften Darstellungen einer der folgenden Fehlerarten zu:
++   * falscher Exponent
++   * Mantisse nicht im Intervall {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}}
++   * Dezimalverschiebung inkonsistent
++   * anderer Fehler
++)))
++1. Formuliere die Bedingungen für eine Normdarstellung der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}}.
++1. Gib zu {{formula}}0{,}00072{{/formula}} zwei verschiedene Darstellungen an und kennzeichne diejenige, die eine Normdarstellung ist.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Normdarstellung – Größe und Genauigkeit unterscheiden" afb="III" kompetenzen="K1, K4, K6" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
--Gegeben sind Darstellungen:
++{{aufgabe id="Normdarstellung prüfen und benennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
++Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:
--{{formula}}3{,}4 \cdot 10^6 \quad \text{und} \quad 3{,}40 \cdot 10^6{{/formula}}
++{{formula}}123 \cdot 10^{12},\quad 7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. Vergleiche die beiden Darstellungen hinsichtlich ihres Zahlenwertes.
--1. Erläutere, welche Information sich in der Mantisse unterscheidet.
--1. Erläutere, welche zusätzliche Information durch die Darstellung {{formula}}3{,}40 \cdot 10^6{{/formula}} im Vergleich zu {{formula}}3{,}4 \cdot 10^6{{/formula}} gegeben wird.
++(% class="abc" %)
++1. Prüfe, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind, und korrigiere sie gegebenenfalls.
++1. Gib die zugehörigen Zahlennamen an.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Normdarstellung und WTR-Darstellung" afb="II" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="4"}}
++Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:
--(% style="list-style: alphastyle" %)
--1. (((Gegeben sind Anzeigen eines Taschenrechners (sog. SCI-Notation):
++{{formula}}7 \cdot 10^{-5},\quad 1 \cdot 10^{2},\quad 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
--[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="120"]]
--[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="120"]]
++Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
++Länge eines Fußballfeldes
++Durchmesser eines Atoms
++Dicke eines menschlichen Haares
--1. Gib die dargestellten Zahlen jeweils in Normdarstellung an.
--1. Gib die Zahlen zusätzlich in Dezimalschreibweise an.
--)))
--1. (((Gegeben sind Zahlen in Normdarstellung (sog. wissenschaftliche Notation):
++(% class="abc" %)
++1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.
++1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
++{{/aufgabe}}
--{{formula}}3{,}2 \cdot 10^5,\quad 7{,}5 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}04 \cdot 10^8{{/formula}}
++{{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
++(% class="abc" %)
++1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
++[[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
++1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
++[[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
++[[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
++{{/aufgabe}}
--1. Gib diese Zahlen in der vom Taschenrechner verwendeten Schreibweise (SCI-Notation) an.
--1. Vergleiche die beiden Darstellungsformen und benenne einen Unterschied in ihrer Schreibweise.
--)))
++{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Darstellungen vergleichen und bewerten" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
++Gegeben ist folgende Zahl(darstellung):
++
++  {{formula}}0{,}0004{{/formula}}.
++
++(% style="list-style: alphastyle" %)
++1. Stelle die Zahl als Zehnerpotenz und in Normdarstellung dar.
++1. Gib eine weitere Darstellung mit negativem Exponenten an.
++1. Vergleiche die Darstellungen und erläutere, welche Vorteile die Normdarstellung im Vergleich zur Dezimalschreibweise hat.
  {{/aufgabe}}
  {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}

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