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Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/05/13 07:35
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -7,35 +7,18 @@
7 7  
8 8  == Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
9 9  
10 -{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
10 +{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
11 11  (% style="list-style: alphastyle" %)
12 12  1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
13 13  1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
14 14  {{/aufgabe}}
15 15  
16 -{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
16 +{{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
17 17  (% style="list-style: alphastyle" %)
18 18  1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
19 19  1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
20 20  {{/aufgabe}}
21 21  
22 -{{aufgabe id="Dritte Wurzel – geschickt rechnen und strukturieren" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
23 -Bestimme ohne Taschenrechner möglichst geschickt:
24 -
25 -{{formula}}
26 -30^3+40^3+50^3
27 -{{/formula}}
28 -
29 -Vergleiche anschließend verschiedene Lösungswege: geschicktes Rechnen, algebraisches Strukturieren, geometrisches Veranschaulichen
30 -
31 -Hinweise:
32 -
33 -{{formula}}
34 -1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2\,;\qquad(a+b)^3=a^3+\dots
35 -{{/formula}}
36 -
37 -{{/aufgabe}}
38 -
39 39  {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
40 40  Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
41 41  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -51,6 +51,12 @@
51 51  
52 52  == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
53 53  
37 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
38 +Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
39 +| {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
40 +| 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
41 +{{/aufgabe}}
42 +
54 54  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
55 55  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
56 56  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
... ... @@ -62,12 +62,6 @@
62 62  1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
66 -Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
67 -| {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
68 -| 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
69 -{{/aufgabe}}
70 -
71 71  {{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
72 72  Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
73 73  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -80,7 +80,7 @@
80 80  Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
81 81  {{/aufgabe}}
82 82  
83 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
84 84  Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
85 85  S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
86 86  S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
... ... @@ -95,7 +95,7 @@
95 95  1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
96 96  {{/aufgabe}}
97 97  
98 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
81 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
99 99  Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
100 100  
101 101  {{formula}}x^{-1} = -x,\quad x^{-1} = \frac{1}{x},\quad x^{-1} = x{{/formula}}
... ... @@ -108,6 +108,13 @@
108 108  
109 109  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
110 110  
94 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
95 +Ergänze die Wertetabelle:
96 +
97 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
98 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
99 +{{/aufgabe}}
100 +
111 111  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
112 112  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
113 113  | 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
... ... @@ -119,7 +119,7 @@
119 119  1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
120 120  {{/aufgabe}}
121 121  
122 -{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
112 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
123 123  Gegeben sind die Gleichungen:
124 124  
125 125  {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
... ... @@ -127,16 +127,9 @@
127 127  (% style="list-style: alphastyle" %)
128 128  1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
129 129  1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
130 -1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
120 +1. Begründe, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet werden sollte.
131 131  {{/aufgabe}}
132 132  
133 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
134 -Ergänze die Wertetabelle:
135 -
136 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
137 -| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
138 -{{/aufgabe}}
139 -
140 140  {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
141 141  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
142 142  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -153,9 +153,16 @@
153 153  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
154 154  {{/aufgabe}}
155 155  
139 +{{aufgabe id="Dritte Wurzel – geschickt rechnen und strukturieren" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
140 +Gegeben ist der Term {{formula}}\sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}{{/formula}}.
141 +(% style="list-style: alphastyle" %)
142 +1. Bestimme den Wert des Terms ohne Taschenrechner möglichst geschickt.
143 +1. Vergleiche anschließend verschiedene Lösungswege: geschicktes Rechnen, algebraisches Strukturieren, geometrisches Veranschaulichen.
144 +{{/aufgabe}}
145 +
156 156  == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
157 157  
158 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
148 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
159 159  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
160 160  | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
161 161  
... ... @@ -177,7 +177,7 @@
177 177  1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
178 178  {{/aufgabe}}
179 179  
180 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
170 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
181 181  Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
182 182  (% style="list-style: alphastyle" %)
183 183  1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
... ... @@ -196,7 +196,7 @@
196 196  
197 197  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
198 198  
199 -{{aufgabe id="Gleicher Wert – verschiedene Darstellungen" afb="II-III" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
189 +{{aufgabe id="Gleicher Wert – verschiedene Darstellungen" afb="II" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
200 200  Gegeben ist die Zahl {{formula}}3{,}1415{{/formula}}.
201 201  
202 202  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -205,7 +205,7 @@
205 205  1. Formuliere einen Zusammenhang zwischen {{formula}}a_n{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}}, der für alle deine Darstellungen gilt.
206 206  {{/aufgabe}}
207 207  
208 -{{aufgabe id="Gleicher Wert – Zusammenhang von a und n" afb="II-III" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Rathgeb (überarbeitet)" cc="BY-SA"}}
198 +{{aufgabe id="Gleicher Wert – Zusammenhang von a und n" afb="II" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Rathgeb (überarbeitet)" cc="BY-SA"}}
209 209  Gegeben ist die Zahl {{formula}}3{,}1415{{/formula}}.
210 210  
211 211  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -214,7 +214,7 @@
214 214  1. Formuliere einen Zusammenhang zwischen {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}}, der für alle Darstellungen dieser Zahl gilt.
215 215  {{/aufgabe}}
216 216  
217 -{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und Strategie entwickeln" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
207 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und Strategie entwickeln" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
218 218  Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
219 219  
220 220  {{formula}}3 \cdot 10^5,\quad -7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad -9 \cdot 10^{-5},\quad 3{,}5 \cdot 10^5{{/formula}}
... ... @@ -225,7 +225,7 @@
225 225  1. Formuliere und begründe eine allgemeine Strategie zum Vergleich von Zahlen der Form {{formula}}\pm a_n \cdot 10^n{{/formula}}.
226 226  {{/aufgabe}}
227 227  
228 -{{aufgabe id="Kommaverschiebung und Zehnerpotenzen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
218 +{{aufgabe id="Kommaverschiebung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
229 229  Gegeben ist {{formula}}a = 3{,}1415{{/formula}}.
230 230  
231 231  (% style="list-style: alphastyle" %)