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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -19,16 +19,6 @@
19 19  1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
20 20  {{/aufgabe}}
21 21  
22 -{{aufgabe id="Summe dritter Potenzen – geschickt rechnen und strukturieren" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
23 -Bestimme ohne Taschenrechner möglichst geschickt:
24 -
25 -{{formula}}
26 -30^3+40^3+50^3
27 -{{/formula}}
28 -
29 -Vergleiche anschließend verschiedene Lösungswege: geschicktes Rechnen, algebraisches Strukturieren, geometrisches Veranschaulichen.
30 -{{/aufgabe}}
31 -
32 32  {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
33 33  Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
34 34  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -44,6 +44,12 @@
44 44  
45 45  == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
46 46  
37 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
38 +Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
39 +| {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
40 +| 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
41 +{{/aufgabe}}
42 +
47 47  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
48 48  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
49 49  | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
... ... @@ -55,12 +55,6 @@
55 55  1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
56 56  {{/aufgabe}}
57 57  
58 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
59 -Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
60 -| {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
61 -| 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
62 -{{/aufgabe}}
63 -
64 64  {{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
65 65  Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
66 66  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -73,7 +73,7 @@
73 73  Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
74 74  {{/aufgabe}}
75 75  
76 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
77 77  Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
78 78  S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
79 79  S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
... ... @@ -88,7 +88,7 @@
88 88  1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
89 89  {{/aufgabe}}
90 90  
91 -{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
81 +{{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
92 92  Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
93 93  
94 94  {{formula}}x^{-1} = -x,\quad x^{-1} = \frac{1}{x},\quad x^{-1} = x{{/formula}}
... ... @@ -101,6 +101,13 @@
101 101  
102 102  == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
103 103  
94 +{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
95 +Ergänze die Wertetabelle:
96 +
97 +| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
98 +| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
99 +{{/aufgabe}}
100 +
104 104  {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
105 105  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
106 106  | 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
... ... @@ -112,7 +112,7 @@
112 112  1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
113 113  {{/aufgabe}}
114 114  
115 -{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
112 +{{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
116 116  Gegeben sind die Gleichungen:
117 117  
118 118  {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
... ... @@ -120,16 +120,9 @@
120 120  (% style="list-style: alphastyle" %)
121 121  1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
122 122  1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
123 -1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
120 +1. Begründe, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet werden sollte.
124 124  {{/aufgabe}}
125 125  
126 -{{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
127 -Ergänze die Wertetabelle:
128 -
129 -| {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
130 -| 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
131 -{{/aufgabe}}
132 -
133 133  {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
134 134  Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
135 135  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -146,9 +146,16 @@
146 146  1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
147 147  {{/aufgabe}}
148 148  
139 +{{aufgabe id="Dritte Wurzel – geschickt rechnen und strukturieren" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
140 +Gegeben ist der Term {{formula}}\sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}{{/formula}}.
141 +(% style="list-style: alphastyle" %)
142 +1. Bestimme den Wert des Terms ohne Taschenrechner möglichst geschickt.
143 +1. Vergleiche anschließend verschiedene Lösungswege: geschicktes Rechnen, algebraisches Strukturieren, geometrisches Veranschaulichen.
144 +{{/aufgabe}}
145 +
149 149  == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
150 150  
151 -{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
148 +{{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
152 152  Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
153 153  | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
154 154  
... ... @@ -170,7 +170,7 @@
170 170  1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
171 171  {{/aufgabe}}
172 172  
173 -{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
170 +{{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
174 174  Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
175 175  (% style="list-style: alphastyle" %)
176 176  1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
... ... @@ -189,7 +189,7 @@
189 189  
190 190  == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
191 191  
192 -{{aufgabe id="Gleicher Wert – verschiedene Darstellungen" afb="II-III" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
189 +{{aufgabe id="Gleicher Wert – verschiedene Darstellungen" afb="II" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
193 193  Gegeben ist die Zahl {{formula}}3{,}1415{{/formula}}.
194 194  
195 195  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -198,7 +198,7 @@
198 198  1. Formuliere einen Zusammenhang zwischen {{formula}}a_n{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}}, der für alle deine Darstellungen gilt.
199 199  {{/aufgabe}}
200 200  
201 -{{aufgabe id="Gleicher Wert – Zusammenhang von a und n" afb="II-III" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Rathgeb (überarbeitet)" cc="BY-SA"}}
198 +{{aufgabe id="Gleicher Wert – Zusammenhang von a und n" afb="II" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Rathgeb (überarbeitet)" cc="BY-SA"}}
202 202  Gegeben ist die Zahl {{formula}}3{,}1415{{/formula}}.
203 203  
204 204  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -207,7 +207,7 @@
207 207  1. Formuliere einen Zusammenhang zwischen {{formula}}a{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}}, der für alle Darstellungen dieser Zahl gilt.
208 208  {{/aufgabe}}
209 209  
210 -{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und Strategie entwickeln" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
207 +{{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und Strategie entwickeln" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
211 211  Gegeben sind folgende Zahldarstellungen:
212 212  
213 213  {{formula}}3 \cdot 10^5,\quad -7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad -9 \cdot 10^{-5},\quad 3{,}5 \cdot 10^5{{/formula}}
... ... @@ -218,7 +218,7 @@
218 218  1. Formuliere und begründe eine allgemeine Strategie zum Vergleich von Zahlen der Form {{formula}}\pm a_n \cdot 10^n{{/formula}}.
219 219  {{/aufgabe}}
220 220  
221 -{{aufgabe id="Kommaverschiebung und Zehnerpotenzen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
218 +{{aufgabe id="Kommaverschiebung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
222 222  Gegeben ist {{formula}}a = 3{,}1415{{/formula}}.
223 223  
224 224  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -233,7 +233,7 @@
233 233  1. Formuliere einen allgemeinen Zusammenhang zwischen der Verschiebung des Kommas und der Multiplikation mit {{formula}}10^n{{/formula}}.
234 234  {{/aufgabe}}
235 235  
236 -{{aufgabe id="Eine Zahl – verschiedene Darstellungen vergleichen" afb="II-III" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
233 +{{aufgabe id="Eine Zahl – verschiedene Darstellungen vergleichen" afb="III" kompetenzen="K4, K5, K6" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
237 237  Gegeben ist die Zahl {{formula}}0{,}000034{{/formula}}.
238 238  
239 239  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -251,7 +251,7 @@
251 251  1. Erläutere, wodurch sich diese Darstellung von den anderen unterscheidet.
252 252  {{/aufgabe}}
253 253  
254 -{{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
251 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
255 255  Gegeben sind die Zahldarstellungen:
256 256  
257 257  {{formula}}0{,}000034,\quad 3{,}4 \cdot 10^{-5},\quad 34 \cdot 10^{-6},\quad 0{,}34 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
... ... @@ -262,7 +262,7 @@
262 262  1. Wähle eine geeignete Darstellung aus und begründe deine Entscheidung.
263 263  {{/aufgabe}}
264 264  
265 -{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
262 +{{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen und begründen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
266 266  Gegeben sind Vorschläge:
267 267  
268 268  * {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}