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Version 248.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 01:03
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
4 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.
5 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
6 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
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8 == Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
9
10 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
11 (% style="list-style: alphastyle" %)
12 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
13 1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
14 {{/aufgabe}}
15
16 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
17 (% style="list-style: alphastyle" %)
18 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
19 1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
20 {{/aufgabe}}
21
22 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
23 Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
24 (% style="list-style: alphastyle" %)
25 1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
26 1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
27 {{/aufgabe}}
28
29 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 (% style="list-style: alphastyle" %)
31 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
32 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
33 {{/aufgabe}}
34
35 == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
36
37 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 (% style="list-style: alphastyle" %)
41 1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
43 1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
44 1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
45 {{/aufgabe}}
46
47 {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
48 Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
49 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
50 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
51 {{/aufgabe}}
52
53 {{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
54 Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
55 (% style="list-style: alphastyle" %)
56 1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
57 1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
58 1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
59 {{/aufgabe}}
60
61 {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
62 Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
63 {{/aufgabe}}
64
65 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
67 S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
68 S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
69 S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
70 S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
71 S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
72 S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
73
74 (% style="list-style: alphastyle" %)
75 1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
79 {{/aufgabe}}
80
81 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
86
87 (% style="list-style: alphastyle" %)
88 1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
90 1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
91 {{/aufgabe}}
92
93 == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94
95 {{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 Gegeben sind die Gleichungen:
97 {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
98 (% style="list-style: alphastyle" %)
99 1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
100 1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
101 1. Lege fest, welche dieser Zahlen sinnvollerweise durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
102 {{/aufgabe}}
103
104 {{aufgabe id="Wertetabelle mit rationalem Exponenten fortführen" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
105 Führe fort ..
106 | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{1/2}{{/formula}} | {{formula}}2^{1/4}{{/formula}}
107 | 16 | 4 | 2 | | | |
108 {{/aufgabe}}
109
110 {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
111 Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
112 (% style="list-style: alphastyle" %)
113 1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
114 1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
115 1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
116 {{/aufgabe}}
117
118 {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
119 Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
120 (% style="list-style: alphastyle" %)
121 1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
122 1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
123 1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
124 {{/aufgabe}}
125
126 == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
127
128 {{aufgabe id="Darstellungwechsel begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4, K6" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg" cc="by-sa"}}
129 Gegeben ist die Zahl {{formula}} 0,0004 {{/formula}}.
130
131 (% class="abc" %)
132 1. (((Stelle die Zahl jeweils in den folgenden Darstellungsformen dar:
133 1. in Prozent
134 1. als vollständig gekürzter Bruch
135 1. als Zahl mit negativem Exponenten der Form {{formula}}x^{-2}{{/formula}}
136 1. als Zehnerpotenz (mind. 2 Beispiele)
137 1. als Zahl in Normdarstellung)))
138 1. Erläutere, worin sich diese Darstellungen unterscheiden und für welche Zwecke jeweils eine Darstellung besonders geeignet ist. Gehe dabei auf mindestens zwei verschiedene Darstellungsformen ein.
139 {{/aufgabe}}
140
141 {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
142 Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
143 (% style="list-style: alphastyle" %)
144 1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
145 1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
146 1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
147 1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
148 {{/aufgabe}}
149
150 == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
151
152 {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
153 Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
154
155 (% class="abc" %)
156 1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
157 1. Nenne die Namen der Zahlen.
158 {{/aufgabe}}
159
160 {{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
161 Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
162
163 Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
164 Länge eines Fußballfeldes
165 Durchmesser eines Atoms
166 Dicke eines menschlichen Haares
167
168 (% class="abc" %)
169 1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
170 1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
171 {{/aufgabe}}
172
173
174 {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
175 (% class="abc" %)
176 1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
177 [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
178 1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
179 [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
180 [[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
181 {{/aufgabe}}
182
183 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}