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Version 252.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 01:25
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1 {{seiteninhalt/}}
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3 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
4 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.
5 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
6 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
7
8 == Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
9
10 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
11 (% style="list-style: alphastyle" %)
12 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
13 1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
14 {{/aufgabe}}
15
16 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
17 (% style="list-style: alphastyle" %)
18 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
19 1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
20 {{/aufgabe}}
21
22 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
23 Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
24 (% style="list-style: alphastyle" %)
25 1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
26 1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
27 {{/aufgabe}}
28
29 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 (% style="list-style: alphastyle" %)
31 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
32 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
33 {{/aufgabe}}
34
35 == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
36
37 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40 (% style="list-style: alphastyle" %)
41 1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
42 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
43 1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
44 1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
45 {{/aufgabe}}
46
47 {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
48 Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
49 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
50 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
51 {{/aufgabe}}
52
53 {{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
54 Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
55 (% style="list-style: alphastyle" %)
56 1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
57 1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
58 1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
59 {{/aufgabe}}
60
61 {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
62 Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
63 {{/aufgabe}}
64
65 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
66 Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
67 S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
68 S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
69 S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
70 S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
71 S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
72 S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
73
74 (% style="list-style: alphastyle" %)
75 1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
76 1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
77 1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
78 1. Gib eine weitere Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} an.
79 {{/aufgabe}}
80
81 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83 G1. {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}
84 G2. {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}
85 G3. {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}
86
87 (% style="list-style: alphastyle" %)
88 1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
89 1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
90 1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
91 {{/aufgabe}}
92
93 == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
94
95 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen der Form 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
96 Gegeben ist folgender Zusammenhang:
97
98 | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
99 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
100
101 (% style="list-style: alphastyle" %)
102 1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
103 1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
104 1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
105 1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} zu schreiben.
106 {{/aufgabe}}
107
108 {{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
109 Gegeben sind die Gleichungen:
110 {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
111 (% style="list-style: alphastyle" %)
112 1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
113 1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
114 1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
115 {{/aufgabe}}
116
117 {{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten der Form 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
118 Ergänze die Wertetabelle:
119
120 | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
121 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
122 {/aufgabe}}
123
124 {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA"}}
125 Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
126 (% style="list-style: alphastyle" %)
127 1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
128 1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
129 1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
130 {{/aufgabe}}
131
132 {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
133 Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
134 (% style="list-style: alphastyle" %)
135 1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
136 1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
137 1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
138 {{/aufgabe}}
139 {{/aufgabe}}
140
141 == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
142
143 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen der Form m/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
144 Gegeben ist folgender Zusammenhang:
145
146 | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{3}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\square}{{/formula}} |
147 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
148
149 (% style="list-style: alphastyle" %)
150 1. Ergänze die Tabelle so, dass der Zusammenhang zwischen oberer und unterer Zeile erhalten bleibt.
151 1. Beschreibe das Muster der Exponenten und der zugehörigen Zahlen.
152 1. Ergänze die Tabelle nach rechts um zwei weitere Spalten.
153 1. Erläutere, warum es sinnvoll ist, die neu auftretenden Exponenten in der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} zu schreiben.
154 {{/aufgabe}}
155
156 {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann,Könings" cc="BY-SA" zeit="3"}}
157 Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
158 (% style="list-style: alphastyle" %)
159 1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
160 1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
161 1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
162 1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
163 {{/aufgabe}}
164
165 {{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition festlegen" afb="III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
166 Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
167 {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
168
169 (% style="list-style: alphastyle" %)
170 1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
171 1. Untersuche weitere Beispiele eigener Wahl (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
172 1. Diskutiere, welche Schwierigkeiten bei der Verwendung der beiden Darstellungen auftreten können (z. B. bei negativen Zahlen oder geraden Exponenten).
173 1. Lege fest, welche der beiden Darstellungen sich besser als allgemeine Definition für {{formula}}a^{\frac{m}{n}}{{/formula}} eignet, und begründe deine Entscheidung.
174 {{/aufgabe}}
175
176 == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
177
178 {{aufgabe id="Normdarstellungen und Namen großer Zahlen mit Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
179 Gegeben sind die beiden Zahl(darstellung)en {{formula}}123 \cdot 10^{12}{{/formula}} und {{formula}}7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
180
181 (% class="abc" %)
182 1. Beurteile, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind; korrigiere andernfalls.
183 1. Nenne die Namen der Zahlen.
184 {{/aufgabe}}
185
186 {{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K2, K4, K6" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
187 Gegeben sind die drei Zahl(darstellung)en {{formula}}7 \cdot 10^{-5}{{/formula}}, {{formula}}1 \cdot 10^{2}{{/formula}} und {{formula}}1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
188
189 Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
190 Länge eines Fußballfeldes
191 Durchmesser eines Atoms
192 Dicke eines menschlichen Haares
193
194 (% class="abc" %)
195 1. Ordne die gegebenen Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und ordne sie gleichzeitig dem jeweils passenden Beispiel begründet zu.
196 1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
197 {{/aufgabe}}
198
199
200 {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
201 (% class="abc" %)
202 1. Gib das Ergebnis des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
203 [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
204 1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
205 [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
206 [[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
207 {{/aufgabe}}
208
209 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}