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Version 287.1 von Martin Rathgeb am 2026/04/24 14:23
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1 {{seiteninhalt/}}
2
3 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit rationalen Exponenten in Wurzelausdrücke umwandeln und umgekehrt.
4 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Potenzen mit negativen Exponenten in Bruchausdrücke umwandeln und umgekehrt.
5 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen in Normdarstellung angeben.
6 [[Kompetenzen.K4]] [[Kompetenzen.K5]] Ich kann Zahlen aus dem Makro- oder Mikrozahlenbereich als Zehnerpotenzen darstellen.
7
8 == Potenz als Schreibweise (Voraussetzung / Aktivierung) ==
9
10 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Vorzeichen untersuchen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="2" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
11 (% style="list-style: alphastyle" %)
12 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}(-1)^3,\ (-1)^4,\ (-2)^3,\ (-2)^4{{/formula}}.
13 1. Beschreibe, welchen Einfluss der Exponent auf das Vorzeichen einer Potenz mit negativer Basis hat.
14 {{/aufgabe}}
15
16 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Werte vergleichen" afb="I-II" kompetenzen="K1, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
17 (% style="list-style: alphastyle" %)
18 1. Berechne die Werte der folgenden Terme: {{formula}}2^3,\ 3^2,\ 2^4,\ 4^2,\ 2^5,\ 5^2{{/formula}}.
19 1. Untersuche die Gleichung {{formula}}a^b = b^a{{/formula}}. Finde Beispiele und Gegenbeispiele.
20 {{/aufgabe}}
21
22 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
23 Gegeben sind die Terme {{formula}}(5^2)^3,\ (5^3)^2,\ (5^1)^6,\ (5^6)^1{{/formula}}.
24 (% style="list-style: alphastyle" %)
25 1. Berechne die Terme und vergleiche die Ergebnisse.
26 1. Formuliere eine Vermutung für den Zusammenhang zwischen {{formula}}(a^m)^n{{/formula}} und einer Potenz der Form {{formula}}a^k{{/formula}} und gib an, wie sich der Exponent {{formula}}k{{/formula}} aus {{formula}}m{{/formula}} und {{formula}}n{{/formula}} ergibt.
27 {{/aufgabe}}
28
29 {{aufgabe id="Potenz als Schreibweise – Potenz von Potenzen – begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
30 (% style="list-style: alphastyle" %)
31 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^4{{/formula}} das Quadrat einer positiven Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
32 1. Untersuche, ob für jede positive natürliche Zahl {{formula}}n{{/formula}} die Zahl {{formula}}n^6{{/formula}} das Quadrat einer negativen Zahl ist. Begründe deine Entscheidung.
33 {{/aufgabe}}
34
35 == Potenz mit ganzzahligen Exponenten ==
36
37 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
38 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
39 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
40
41 (% style="list-style: alphastyle" %)
42 1. Stelle die fünf Zahlen in der Form {{formula}}2^n{{/formula}} dar.
43 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
44 1. Ergänze die Folge nach links um ein weiteres Glied und nach rechts um zwei weitere Glieder.
45 1. Ordne auch den neu entstandenen Zahlen passende Potenzen der Form {{formula}}2^n{{/formula}} zu und erläutere, warum diese Zuordnung sinnvoll ist.
46 {{/aufgabe}}
47
48 {{aufgabe id="Wertetabelle mit negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="2"}}
49 Bestimme die fehlenden Exponenten und Werte in den Lücken:
50 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}3^2{{/formula}} | {{formula}}3^1{{/formula}} | {{formula}}3^0{{/formula}} | {{formula}}3^{-1}{{/formula}} | {{formula}}3^{-2}{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}}
51 | 27 | 9 | 3 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |{{formula}}\square{{/formula}}| {{formula}}\square{{/formula}}
52 {{/aufgabe}}
53
54 {{aufgabe id="Von der Potenz zum Bruch" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
55 Gib als Bruch an und berechne, wenn möglich.
56 (% style="list-style: alphastyle" %)
57 1. {{formula}}3^{-5}{{/formula}}
58 1. {{formula}} a^{-b}{{/formula}}
59 1. {{formula}}8 \cdot b^{-2}{{/formula}}
60 {{/aufgabe}}
61
62 {{aufgabe id="Vom Bruch zum negativen Exponenten" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="1" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu]]" cc="BY-SA"}}
63 Gib {{formula}} \frac{1}{8} {{/formula}} in Potenzschreibweise an.
64 {{/aufgabe}}
65
66 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Darstellungen vergleichen und begründen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="6" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
67 Mehrere Schülerinnen und Schüler stellen die Zahl {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}} als Potenz {{formula}}b^n{{/formula}} dar. Sie machen folgende Angaben:
68 S1: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 3{{/formula}}.
69 S2: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = \frac{1}{3}{{/formula}}.
70 S3: Für meine Darstellung gilt {{formula}}b = 9{{/formula}}.
71 S4: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = 2{{/formula}}.
72 S5: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -4{{/formula}}.
73 S6: Für meine Darstellung gilt {{formula}}n = -1{{/formula}}.
74
75 (% style="list-style: alphastyle" %)
76 1. Bestimme zu jeder Angabe eine passende Potenzdarstellung von {{formula}}\frac{1}{81}{{/formula}}, falls möglich.
77 1. Vergleiche die gefundenen Darstellungen und gib an, welche übereinstimmen.
78 1. Erläutere an zwei passenden Darstellungen, wie sich der Exponent verändert, wenn man die Basis durch ihren Kehrbruch ersetzt.
79 {{/aufgabe}}
80
81 {{aufgabe id="Negative Exponenten – Gleichungen untersuchen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
82 Gegeben sind drei Gleichungen ({{formula}}x \in \mathbb{R},\ x \ne 0{{/formula}}):
83
84 {{formula}}x^{-1} = -x,\quad x^{-1} = \frac{1}{x},\quad x^{-1} = x{{/formula}}
85
86 (% style="list-style: alphastyle" %)
87 1. Gib zu jeder Gleichung passende Beispiele oder Gegenbeispiele an.
88 1. Ordne die Gleichungen den folgenden Gleichungen zu und begründe: {{formula}}1=1,\quad x^2=-1,\quad x^2=1{{/formula}}
89 1. Begründe, warum der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} ausgeschlossen werden muss.
90 {{/aufgabe}}
91
92 == Potenzen mit Exponenten der Form 1/n ==
93
94 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten 1/n" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
95 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
96 | 256 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} |
97
98 (% style="list-style: alphastyle" %)
99 1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
100 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
101 1. Ergänze die Folge nach rechts um ein weiteres Glied.
102 1. Ordne auch dem neuen Glied eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten //k// der Form {{formula}}\frac{1}{n}{{/formula}} auftreten.
103 {{/aufgabe}}
104
105 {{aufgabe id="Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
106 Gegeben sind die Gleichungen:
107
108 {{formula}}(16^{\frac{1}{2}})^2 = 16,\quad (8^{\frac{1}{3}})^3 = 8,\quad (16^{\frac{1}{4}})^4 = 16{{/formula}}
109
110 (% style="list-style: alphastyle" %)
111 1. Bestimme jeweils alle Zahlen, die für {{formula}}16^{\frac{1}{2}}{{/formula}}, {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}} und {{formula}}16^{\frac{1}{4}}{{/formula}} in Frage kommen.
112 1. Vergleiche die Ergebnisse und beschreibe, wann eine und wann mehrere Zahlen möglich sind.
113 1. Lege fest, welche dieser Zahlen durch die Potenzschreibweise bezeichnet wird, und begründe deine Entscheidung.
114 {{/aufgabe}}
115
116 {{aufgabe id="Wertetabelle mit Exponenten 1/n" afb="I" kompetenzen="K4, K5" quelle="Holger Engels" cc="BY-SA" zeit="3"}}
117 Ergänze die Wertetabelle:
118
119 | {{formula}}2^4{{/formula}} | {{formula}}2^2{{/formula}} | {{formula}}2^1{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{2}}{{/formula}} | {{formula}}2^{\frac{1}{4}}{{/formula}} |
120 | 16 | 4 | 2 | {{formula}}\square{{/formula}} | {{formula}}\square{{/formula}} |
121 {{/aufgabe}}
122
123 {{aufgabe id="Von der Potenz- zur Wurzelschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
124 Gib in Wurzelschreibweise an und berechne, wenn möglich.
125 (% style="list-style: alphastyle" %)
126 1. {{formula}}81^{\frac{1}{2}}{{/formula}}
127 1. {{formula}}8^{\frac{1}{3}}{{/formula}}
128 1. {{formula}}0,0016^{\frac{1}{4}}{{/formula}}
129 {{/aufgabe}}
130
131 {{aufgabe id="Von der Wurzel- zur Potenzschreibweise" afb="I" kompetenzen="K5, K6" zeit="2" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA"}}
132 Gib in Potenzschreibweise an und berechne, wenn möglich.
133 (% style="list-style: alphastyle" %)
134 1. {{formula}}\sqrt{3^5}{{/formula}}
135 1. {{formula}}\sqrt[4]{9^2}{{/formula}}
136 1. {{formula}}\sqrt[a]{b^c}{{/formula}}
137 {{/aufgabe}}
138
139 == Potenzen mit rationalen Exponenten ==
140
141 {{aufgabe id="Zahlenfolge und Potenzen mit Exponenten m/n" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
142 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
143 | {{formula}}\sqrt{2}{{/formula}} | 2 | {{formula}}2\sqrt{2}{{/formula}} | 4 | {{formula}}4\sqrt{2}{{/formula}} |
144
145 (% style="list-style: alphastyle" %)
146 1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}2^k{{/formula}} dar.
147 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
148 1. Ergänze die Folge nach links und rechts um je zwei Folgenglieder.
149 1. Ordne auch den vier neuen Zahlen jeweils eine passende Potenz der Form {{formula}}2^k{{/formula}} zu und erläutere, warum dabei Exponenten der Form {{formula}}\frac{m}{n}{{/formula}} auftreten.
150 {{/aufgabe}}
151
152 {{aufgabe id="Rationale Exponenten – eine geeignete Definition begründen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="8" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
153 Für Potenzen mit rationalen Exponenten werden zwei mögliche Darstellungen vorgeschlagen:
154
155 {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m \quad \text{und} \quad a^{\frac{m}{n}} = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
156
157 (% style="list-style: alphastyle" %)
158 1. Berechne für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} und {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} jeweils beide Terme und vergleiche die Ergebnisse.
159 1. Untersuche weitere Beispiele (z.B. {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}}) und prüfe, ob beide Darstellungen stets denselben Wert liefern.
160 1. Beurteile, welche der beiden Darstellungen sich als allgemeine Definition für a^{m/n} eignet, und begründe deine Entscheidung.
161 {{/aufgabe}}
162
163 {{aufgabe id="Rationale Exponenten – Definition anwenden" afb="I-II" kompetenzen="K4, K5" zeit="3" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
164 Berechne die folgenden Potenzen. Verwende dabei die Darstellung {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}}.
165 (% style="list-style: alphastyle" %)
166 1. {{formula}}16^{\frac{3}{2}}{{/formula}}
167 1. {{formula}}27^{\frac{2}{3}}{{/formula}}
168 1. {{formula}}81^{\frac{3}{4}}{{/formula}}
169 {{/aufgabe}}
170
171 {{aufgabe id="Lücken bei der Wurzel- und Potenzschreibweise" afb="II" kompetenzen="K5" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="BY-SA" zeit="5"}}
172 Ermittle die fehlenden Zahlen in den Lücken:
173 (% style="list-style: alphastyle" %)
174 1. {{formula}}a^{\frac{\square}{4}}=\sqrt[\square]{a^5}{{/formula}}
175 1. {{formula}}\sqrt[5]{b^{\frac{\square}{2}}}= b^{\frac{3}{10}}{{/formula}}
176 1. {{formula}}\sqrt[\square]{c^{\frac{4}{5}}}= c^{\frac{4}{15}}{{/formula}}
177 1. {{formula}}\sqrt[4]{d^{\frac{2}{3}}}= d^{\frac{\square}{6}}{{/formula}}
178 {{/aufgabe}}
179
180 == Zehnerpotenzen und Normdarstellung ==
181
182 {{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Muster erkennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
183 Gegeben ist folgender Ausschnitt aus einer Zahlenfolge:
184
185 | 1 | 10 | 100 | 1000 | 10000 |
186
187 (% style="list-style: alphastyle" %)
188 1. Stelle die Zahlen in der Form {{formula}}10^n{{/formula}} dar.
189 1. Beschreibe das Muster der Zahlenfolge und das Muster in der Potenzdarstellung.
190 1. Ergänze die Folge nach rechts und nach links um je zwei weitere Glieder.
191 1. Erläutere, warum Zehnerpotenzen besonders geeignet sind, um sehr große und sehr kleine Zahlen darzustellen.
192 {{/aufgabe}}
193
194 {{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Größen vergleichen und einschätzen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K2, K4" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
195 Gegeben sind folgende vier Maßzahlen von Größenwerten:
196
197 {{formula}}3 \cdot 10^5,\quad 7 \cdot 10^{-3},\quad 1{,}2 \cdot 10^2,\quad 9 \cdot 10^{-5}{{/formula}}
198
199 (% style="list-style: alphastyle" %)
200 1. Ordne die Maßzahlen der Größe nach (von klein nach groß).
201 1. Begründe deine Ordnung, ohne die Zahlen vollständig auszurechnen.
202 1. Eine Schülerin behauptet: //„{{formula}}9 \cdot 10^{-5}{{/formula}} ist größer als {{formula}}7 \cdot 10^{-3}{{/formula}}, weil 9 größer als 7 ist.“//
203 Nimm Stellung zu dieser Aussage und erläutere den Denkfehler.
204 1. Beschreibe eine Strategie, mit der man Maßzahlen der Form {{formula}}\pm a \cdot 10^n{{/formula}} mit {{formula}}1\le a < 10{{/formula}} schnell vergleichen kann.
205 {{/aufgabe}}
206
207 {{aufgabe id="Normdarstellung – Notwendigkeit erkennen" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="4" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
208 Gegeben sind die folgenden Darstellungen derselben Zahl:
209
210 {{formula}}0{,}00045,\quad 4{,}5 \cdot 10^{-4},\quad 45 \cdot 10^{-5},\quad 0{,}45 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
211
212 (% style="list-style: alphastyle" %)
213 1. Überprüfe, dass alle Darstellungen denselben Wert beschreiben.
214 1. Vergleiche die Darstellungen hinsichtlich ihrer Übersichtlichkeit und Lesbarkeit.
215 1. Beschreibe, welche Eigenschaft die Darstellung {{formula}}4{,}5 \cdot 10^{-4}{{/formula}} von den anderen unterscheidet.
216 1. Erläutere, warum man Zahlen üblicherweise in der sogenannten Normdarstellung angibt.
217 {{/aufgabe}}
218
219 {{aufgabe id="Normdarstellung – Fehler erkennen und korrigieren" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="5" quelle="Martin Rathgeb" cc="BY-SA"}}
220 Gegeben sind Vorschläge von Schülerinnen und Schülern zur Normdarstellung.
221
222 (% style="list-style: alphastyle" %)
223 1. Prüfe die folgenden Darstellungen. Entscheide jeweils, ob es sich um eine korrekte Normdarstellung handelt. Begründe und korrigiere falsche Darstellungen.
224 {{formula}}0{,}0045 = 4{,}5 \cdot 10^{-3}{{/formula}}
225 {{formula}}0{,}0045 = 45 \cdot 10^{-4}{{/formula}}
226 {{formula}}4500 = 4{,}5 \cdot 10^{3}{{/formula}}
227 {{formula}}4500 = 0{,}45 \cdot 10^{4}{{/formula}}
228 1. (((Ordne die fehlerhaften Darstellungen einer der folgenden Fehlerarten zu:
229 * falscher Exponent
230 * Mantisse nicht im Intervall {{formula}}1 \le a < 10{{/formula}}
231 * Dezimalverschiebung inkonsistent
232 )))
233 1. Formuliere die Bedingungen für eine Normdarstellung der Form {{formula}}a \cdot 10^n{{/formula}}.
234 1. Gib zu {{formula}}0{,}00072{{/formula}} zwei verschiedene Darstellungen an und kennzeichne diejenige, die eine Normdarstellung ist.
235 {{/aufgabe}}
236
237 {{aufgabe id="Normdarstellung prüfen und benennen" afb="II" kompetenzen="K4, K5" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="3"}}
238 Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:
239
240 {{formula}}123 \cdot 10^{12},\quad 7,32 \cdot 10^{10}{{/formula}}.
241
242 (% class="abc" %)
243 1. Prüfe, ob die Zahlen in Normdarstellung angegeben sind, und korrigiere sie gegebenenfalls.
244 1. Gib die zugehörigen Zahlennamen an.
245 {{/aufgabe}}
246
247 {{aufgabe id="Größenzuordnung bei Normdarstellung und Zehnerpotenzen" afb="II" kompetenzen="K4" quelle="Team KS Offenburg" cc="BY-SA" zeit="4"}}
248 Gegeben sind folgende Zahl(darstellung)en:
249
250 {{formula}}7 \cdot 10^{-5},\quad 1 \cdot 10^{2},\quad 1 \cdot 10^{-10}{{/formula}}.
251
252 Außerdem passen folgende Beispiele zu den gegebenen Größen:
253 Länge eines Fußballfeldes
254 Durchmesser eines Atoms
255 Dicke eines menschlichen Haares
256
257 (% class="abc" %)
258 1. Ordne die Zahlen der Größe nach (von klein nach groß) und begründe ihre Zuordnung zu den Beispielen.
259 1. Erläutere, warum die Darstellung mit Zehnerpotenzen besonders geeignet ist, um sehr große und sehr kleine Größen miteinander zu vergleichen.
260 {{/aufgabe}}
261
262 {{aufgabe id="Normdarstellung des Taschenrechners" afb="II" kompetenzen="K5" zeit="4" quelle="Böhringer, Hauptmann, Könings" cc="by-sa"}}
263 (% class="abc" %)
264 1. Gib die Ergebnisse in wissenschaftlicher Schreibweise und als Dezimalzahl an.
265 [[image:Taschenrechnerdisplay.png||width="100"]]
266 1. Ermittle die Ausgabe des Taschenrechners in wissenschaftlicher Schreibweise.
267 [[image:Taschenrechnerdisplay_1.png||width="100"]]
268 [[image:Taschenrechnerdisplay_2.png||width="100"]]
269 {{/aufgabe}}
270
271 {{aufgabe id="Zehnerpotenzen – Darstellungen vergleichen und bewerten" afb="II-III" kompetenzen="K1, K4" zeit="6" quelle="Team KS Offenburg (überarbeitet von Martin Rathgeb)" cc="BY-SA"}}
272 Gegeben ist folgende Zahl(darstellung):
273
274 {{formula}}0{,}0004{{/formula}}.
275
276 (% style="list-style: alphastyle" %)
277 1. Stelle die Zahl als Zehnerpotenz und in Normdarstellung dar.
278 1. Gib eine weitere Darstellung mit negativem Exponenten an.
279 1. Vergleiche die Darstellungen und erläutere, welche Vorteile die Normdarstellung im Vergleich zur Dezimalschreibweise hat.
280 {{/aufgabe}}
281
282 {{seitenreflexion bildungsplan="5" kompetenzen="5" anforderungsbereiche="5" kriterien="5" menge="5"/}}