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Version 2.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/08 00:59
Verstecke letzte Bearbeiter
Martin Rathgeb 1.1 1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. Ein arithmetischer, ein geometrischer, ein algebraischer Weg.
Martin Rathgeb 2.1 3 (((**Geschicktes Rechnen.**
4 * Zunächst wird der gemeinsame Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert:
Martin Rathgeb 1.1 5
6 {{formula}}
7 30^3+40^3+50^3
8 =(10\cdot 3)^3+(10\cdot 4)^3+(10\cdot 5)^3
9 =10^3\cdot(3^3+4^3+5^3).
10 {{/formula}}
11
12 * Nun gilt:
13
14 {{formula}}
15 3^3+4^3+5^3=27+64+125=216=6^3.
16 {{/formula}}
17
18 * Damit folgt:
19
20 {{formula}}
21 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}
22 =\sqrt[3]{10^3\cdot 6^3}
23 =10\cdot 6
24 =60.
25 {{/formula}}
26 )))
27
Martin Rathgeb 2.1 28 1. (((**Algebraisches Strukturieren.**
29 * Man nutzt für {{formula}}3^3+4^3+5^3=6^3{{/formula}} die Identität
Martin Rathgeb 1.1 30
31 {{formula}}
32 1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2.
33 {{/formula}}
34
35 * Für {{formula}}n=5{{/formula}} erhält man:
36
37 {{formula}}
38 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=15^2.
39 {{/formula}}
40
41 * Außerdem ist
42
43 {{formula}}
44 1^3+2^3=1+8=9=3^2.
45 {{/formula}}
46
47 * Also gilt:
48
49 {{formula}}
50 3^3+4^3+5^3=15^2-3^2.
51 {{/formula}}
52
53 * Mit der dritten binomischen Formel folgt:
54
55 {{formula}}
56 15^2-3^2=(15-3)(15+3)=12\cdot18.
57 {{/formula}}
58
59 * Nun wird das Produkt so faktorisiert, dass die dritte Potenz sichtbar wird:
60
61 {{formula}}
62 12\cdot18=(2\cdot6)(3\cdot6)=6^2\cdot6=6^3.
63 {{/formula}}
64
65 * Damit ist gezeigt:
66
67 {{formula}}
68 3^3+4^3+5^3=6^3.
69 {{/formula}}
70
71 Also:
72
73 {{formula}}
74 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}
75 =\sqrt[3]{10^3\cdot6^3}
76 =60.
77 {{/formula}}
78 )))
79
Martin Rathgeb 2.1 80 1. (((**Geometrisches Veranschaulichen.**
81 * Die Terme {{formula}}3^3{{/formula}}, {{formula}}4^3{{/formula}} und {{formula}}5^3{{/formula}} können als Volumina von Würfeln mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} gedeutet werden.
Martin Rathgeb 1.1 82
83 * Die entscheidende Idee ist:
84
85 {{formula}}
86 3^3+4^3+5^3=6^3.
87 {{/formula}}
88
89 * Anschaulich bedeutet das: Die drei Würfel mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} sind zusammen volumengleich zu einem Würfel mit Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}}.
90
91 * (((Eine mögliche Vorstellung:
92
93 - Man beginnt mit dem größten Würfel der Kantenlänge {{formula}}5{{/formula}}.
94 - Um daraus einen Würfel der Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}} zu machen, müssen außen passende Schichten und Randstücke ergänzt werden.
95 - Der Würfel mit Kantenlänge {{formula}}4{{/formula}} kann in Schichten zerlegt werden. Eine {{formula}}4\times4\times1{{/formula}}-Schicht ist noch keine vollständige {{formula}}5\times5\times1{{/formula}}-Schicht. Es fehlen jeweils {{formula}}5^2-4^2=25-16=9{{/formula}} kleine Einheitswürfel in einer L-Form.
96 - Der Würfel mit Kantenlänge {{formula}}3{{/formula}} enthält {{formula}}3^3=27=3\cdot9{{/formula}} Einheitswürfel und kann genau solche Ergänzungen liefern.
97 - Die drei {{formula}}5\times5\times1{{/formula}}-Schichten werden können nun vorne, rechts und oben an den {{formula}}5\times5\times5{{/formula}}-Würfel passend angelegt werden.
98 - Vom Würfel mit Kantenlänge {{formula}}4{{/formula}} verblieb eine vierte {{formula}}4\times4\times1{{/formula}}-Schicht. Sie liefert drei {{formula}}5\times1\times1{{/formula}}-Kanten, die als orthogonales Dreibein an einer Ecke ({{formula}}1\times1\times1{{/formula}}-Würfel) zusammenhalten.
99 - Dieser Art ist ein {{formula}}6\times6\times6{{/formula}}-Würfel entstanden.
100 - So wird die Zahl {{formula}}6{{/formula}} nicht erst aus {{formula}}216{{/formula}} erkannt, sondern als Kantenlänge des größeren Würfels sichtbar.
101 )))
102 * Daher gilt wieder: {{formula}}30^3+40^3+50^3=10^3(3^3+4^3+5^3)=10^3\cdot6^3=60^3{{/formula}}.
103
104 Also ist
105
106 {{formula}}
107 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}=60.
108 {{/formula}}
109 )))
110 1. (((**Reflexion der Lösungswege.**
111
112 * Beim geschickten Rechnen wird die Aufgabe stark vereinfacht, weil zunächst der Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert wird. Der Weg bleibt aber teilweise rechnend, da man {{formula}}3^3+4^3+5^3{{/formula}} auswertet und {{formula}}216=6^3{{/formula}} erkennen muss.
113
114 * Beim algebraischen Strukturieren wird nicht direkt mit den drei Kuben gerechnet. Die Identität für Kubiksummen und die dritte binomische Formel zeigen, warum eine dritte Potenz entsteht. Besonders wichtig ist die Umformung
115
116 {{formula}}
117 15^2-3^2=(15-3)(15+3)=12\cdot18=(2\cdot6)(3\cdot6)=6^3.
118 {{/formula}}
119
120 * Beim geometrischen Veranschaulichen steht nicht das Rechnen, sondern das Sehen der Struktur im Vordergrund: Drei Würfel werden als Teile eines größeren Würfels verstanden. Dieser Weg erklärt besonders anschaulich, woher die Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}} kommt.
121
122 Alle drei Wege führen zum gleichen Ergebnis:
123
124 {{formula}}
125 \boxed{60}
126 {{/formula}}
127 )))
128 {{/loesung}}