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Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/04/24 12:37
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Martin Rathgeb 1.1 1 (% style="list-style: alphastyle" %)
Martin Rathgeb 2.1 2 1. (((Die drei Gleichungen.
3 * **Gleichung {{formula}}x^{-1} = -x{{/formula}}.**
4 Dies ist äquivalent zu {{formula}}\frac{1}{x} = -x \;\Rightarrow\; 1 = -x^2 \;\Rightarrow\; x^2 = -1{{/formula}}.
5 Da es keine reellen Lösungen gibt, existieren //keine Beispiele//.
Martin Rathgeb 3.1 6 Ein Gegenbeispiel: {{formula}}x=1{{/formula}} ⇒ {{formula}}1^{-1}=1 \neq -1{{/formula}}.
Martin Rathgeb 2.1 7 * **Gleichung {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x}{{/formula}}.**
8 Dies gilt für alle {{formula}}x \ne 0{{/formula}}, also gibt es //keine Gegenbeispiele//.
Martin Rathgeb 3.1 9 Zwei Beispiele: {{formula}}x=2{{/formula}} ⇒ {{formula}}2^{-1}=\frac{1}{2}{{/formula}}, {{formula}}x=-3{{/formula}} ⇒ {{formula}}(-3)^{-1}=\frac{1}{-3}{{/formula}}.
Martin Rathgeb 2.1 10 * **Gleichung {{formula}}x^{-1} = x{{/formula}}.**
11 Dies ist äquivalent zu {{formula}}\frac{1}{x} = x \;\Rightarrow\; 1 = x^2{{/formula}}.
12 Lösungen: {{formula}}x=1{{/formula}} und {{formula}}x=-1{{/formula}}, das sind die beiden einzigen Beispiele.
Martin Rathgeb 3.1 13 Ein Gegenbeispiel: {{formula}}x=2{{/formula}} ⇒ {{formula}}2^{-1}=1/2 \neq -2{{/formula}}.)))
Martin Rathgeb 1.1 14 1. (((
15 Zuordnung:
Martin Rathgeb 3.1 16 * {{formula}}x^{-1} = -x \;\Leftrightarrow\; x^2 = -1{{/formula}}
17 * {{formula}}x^{-1} = \frac{1}{x} \;\Leftrightarrow\; 1 = 1{{/formula}}
18 * {{formula}}x^{-1} = x \;\Leftrightarrow\; x^2 = 1{{/formula}}
Martin Rathgeb 4.1 19
Martin Rathgeb 5.1 20 Begründung jeweils durch Umformen der Gleichungen (Multiplikation mit {{formula}}x\ne 0{{/formula}}).
Martin Rathgeb 1.1 21 )))
Martin Rathgeb 3.1 22 1. (((Der Fall {{formula}}x=0{{/formula}} muss ausgeschlossen werden, da der Ausdruck {{formula}}x^{-1}{{/formula}} bzw. {{formula}}\frac{1}{x}{{/formula}} für {{formula}}x=0{{/formula}} nicht definiert ist.
Martin Rathgeb 4.1 23 Eine Division durch 0 ist nicht möglich, da es keine zu 0 multiplikativ inverse Zahl gibt, also keine Zahl, die mit 0 multipliziert den Wert 1 ergibt.
Martin Rathgeb 1.1 24 )))