Lösung Potenzen mit Exponenten 1/n – Bedeutung klären

Betrachte die drei Fälle einzeln.

• \((16^{\frac{1}{2}})^2 = 16\): Gesucht sind alle Zahlen \(x\) mit \(x^2=16\); das sind \(x=4\) oder \(x=-4\). Also: \(16^{\frac{1}{2}} \in \{4,-4\}\)

• \((8^{\frac{1}{3}})^3 = 8\): Gesucht sind alle Zahlen \(x\) mit \(x^3=8\); das ist \(x=2\) (eindeutig). Also: \(8^{\frac{1}{3}}=2\)

• \((16^{\frac{1}{4}})^4 = 16\): Gesucht sind alle Zahlen \(x\) mit \(x^4=16\); das sind \(x=2\) oder \(x=-2\). Also: \(16^{\frac{1}{4}} \in \{2,-2\}\)

Vergleich der drei Fälle:

• Bei geradem Exponenten (\(2,4\)) gibt es zwei Lösungen (positive und negative Zahl).
• Bei ungeradem Exponenten (\(3\)) gibt es genau eine Lösung (positive Zahl).

Befund: Mehrere Zahlen sind möglich bei geraden Exponenten, genau eine Zahl bei ungeraden Exponenten.

Festlegung (Vorschlag): Durch die Potenzschreibweise \(a^{\frac{1}{n}}\) wird (falls überhaupt existent) die nichtnegative Lösung (positiv oder Null) bezeichnet.

Also: \(16^{\frac{1}{2}}=4,\quad 8^{\frac{1}{3}}=2,\quad 16^{\frac{1}{4}}=2\)

Begründung: Diese Festlegung macht die Zuordnung eindeutig und stimmt mit der üblichen Definition der Wurzel als nichtnegative Zahl überein.