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Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2026/04/24 14:01
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Martin Rathgeb 1.1 1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. (((//Vergleich//:
Martin Rathgeb 8.1 3 * (((Für {{formula}}a=16,\ m=3,\ n=2{{/formula}} gilt:
Martin Rathgeb 1.1 4 * {{formula}}(16^{\frac12})^3 = 4^3 = 64{{/formula}}
5 * {{formula}}(16^3)^{\frac12} = \sqrt{4096}=64{{/formula}}
6 )))
Martin Rathgeb 8.1 7 * (((Für {{formula}}a=8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} gilt:
Martin Rathgeb 1.1 8 * {{formula}}(8^{\frac13})^2 = 2^2 = 4{{/formula}}
9 * {{formula}}(8^2)^{\frac13} = \sqrt[3]{64}=4{{/formula}}
10 )))
Martin Rathgeb 6.1 11
Martin Rathgeb 1.1 12 In beiden Fällen liefern die Darstellungen denselben Wert.
13 )))
14 1. (((//Zwei weitere Beispiele//:
Martin Rathgeb 8.1 15 * (((Für {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=3{{/formula}} gilt:
Martin Rathgeb 1.1 16 * {{formula}}((-8)^{\frac13})^2 = (-2)^2 = 4{{/formula}}
17 * {{formula}}((-8)^2)^{\frac13} = 64^{\frac13}=4{{/formula}}
18 )))
Martin Rathgeb 8.1 19 * (((Für {{formula}}a=-8,\ m=2,\ n=6{{/formula}} hingegen gilt:
Martin Rathgeb 1.1 20 * {{formula}}((-8)^2)^{\frac16} = 64^{\frac16} = 2{{/formula}} ist definiert.
21 * {{formula}}((-8)^{\frac16})^2{{/formula}} hingegen ist in den reellen Zahlen nicht definiert, da {{formula}}(-8)^{\frac16}{{/formula}} nicht existiert.
22 )))
Martin Rathgeb 6.1 23
24 Die beiden Darstellungen liefern nicht immer denselben Wert bzw. sind nicht immer beide definiert.
Martin Rathgeb 1.1 25 )))
26 1. (((Die Darstellung {{formula}}a^{\frac{m}{n}} = (a^{\frac{1}{n}})^m{{/formula}} ist als Definition vorzuziehen.
27 //Begründung//:
28 * Sie knüpft direkt an die Bedeutung von {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} als n-te Wurzel an und legt fest, dass zunächst diese eindeutig bestimmte Zahl gebildet und anschließend potenziert wird.
Martin Rathgeb 7.1 29 * Für {{formula}}a \ge 0{{/formula}} stimmen beide Darstellungen überein, da gilt: {{formula}}(a^{\frac{1}{n}})^m = (a^m)^{\frac{1}{n}}{{/formula}}
Martin Rathgeb 1.1 30 * Bei negativen Basen können jedoch Unterschiede auftreten, insbesondere wenn der Nenner {{formula}}n{{/formula}} gerade ist, da dann {{formula}}a^{\frac{1}{n}}{{/formula}} nicht definiert ist.
Martin Rathgeb 7.1 31 * Die erste Darstellung macht diese Einschränkung transparent und ist daher als allgemeine Definition geeigneter.
Martin Rathgeb 1.1 32 )))