Änderungen von Dokument Lösung Summe dritter Potenzen – geschickt rechnen und strukturieren

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Details

Seiteneigenschaften

Inhalt

...	...	@@ -1,7 +1,9 @@
	1	+{{loesung}}
1	1	(% style="list-style: alphastyle" %)
2		-1. Drei Lösungswege: ein arithmetischer, ein algebraischer, ein geometrischer.
3		-(((**Geschicktes Rechnen.** Zunächst wird der gemeinsame Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert:
	3	+1. (((**Geschicktes Rechnen.**
4	4
	5	+Zunächst wird der gemeinsame Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert:
	6	+
5	5	{{formula}}
6	6	30^3+40^3+50^3
7	7	=(10\cdot 3)^3+(10\cdot 4)^3+(10\cdot 5)^3
...	...	@@ -17,13 +17,17 @@
17	17	Damit folgt:
18	18
19	19	{{formula}}
20		-{30^3+40^3+50^3}
21		-={10^3\cdot 6^3}
22		-=60^3.
	22	+\sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}
	23	+=\sqrt[3]{10^3\cdot 6^3}
	24	+=10\cdot 6
	25	+=60.
23	23	{{/formula}}
24	24	)))
25		-(((**Algebraisches Strukturieren.** Man nutzt für {{formula}}3^3+4^3+5^3=6^3{{/formula}} die Identität
26	26
	29	+1. (((**Algebraisches Strukturieren.**
	30	+
	31	+Man nutzt die Identität
	32	+
27	27	{{formula}}
28	28	1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2.
29	29	{{/formula}}
...	...	@@ -72,8 +72,11 @@
72	72	=60.
73	73	{{/formula}}
74	74	)))
75		-(((**Geometrisches Veranschaulichen.** Die Terme {{formula}}3^3{{/formula}}, {{formula}}4^3{{/formula}} und {{formula}}5^3{{/formula}} können als Volumina von Würfeln mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} gedeutet werden.
76	76
	82	+1. (((**Geometrisches Veranschaulichen.**
	83	+
	84	+Die Terme {{formula}}3^3{{/formula}}, {{formula}}4^3{{/formula}} und {{formula}}5^3{{/formula}} können als Volumina von Würfeln mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} gedeutet werden.
	85	+
77	77	Die entscheidende Idee ist:
78	78
79	79	{{formula}}
...	...	@@ -117,8 +117,9 @@
117	117	\sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}=60.
118	118	{{/formula}}
119	119	)))
120		-1. (((**Reflexion der drei Lösungswege.**
121	121
	130	+1. (((**Reflexion der Lösungswege.**
	131	+
122	122	* Beim geschickten Rechnen wird die Aufgabe stark vereinfacht, weil zunächst der Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert wird. Der Weg bleibt aber teilweise rechnend, da man {{formula}}3^3+4^3+5^3{{/formula}} auswertet und {{formula}}216=6^3{{/formula}} erkennen muss.
123	123
124	124	* Beim algebraischen Strukturieren wird nicht direkt mit den drei Kuben gerechnet. Die Identität für Kubiksummen und die dritte binomische Formel zeigen, warum eine dritte Potenz entsteht. Besonders wichtig ist die Umformung
...	...	@@ -135,3 +135,4 @@
135	135	\boxed{60}
136	136	{{/formula}}
137	137	)))
	148	+{{/loesung}}