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Version 1.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/08 00:33
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1 {{loesung}}
2 (% style="list-style: alphastyle" %)
3 1. (((**Geschicktes Rechnen.**
4
5 Zunächst wird der gemeinsame Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert:
6
7 {{formula}}
8 30^3+40^3+50^3
9 =(10\cdot 3)^3+(10\cdot 4)^3+(10\cdot 5)^3
10 =10^3\cdot(3^3+4^3+5^3).
11 {{/formula}}
12
13 Nun gilt:
14
15 {{formula}}
16 3^3+4^3+5^3=27+64+125=216=6^3.
17 {{/formula}}
18
19 Damit folgt:
20
21 {{formula}}
22 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}
23 =\sqrt[3]{10^3\cdot 6^3}
24 =10\cdot 6
25 =60.
26 {{/formula}}
27 )))
28
29 1. (((**Algebraisches Strukturieren.**
30
31 Man nutzt die Identität
32
33 {{formula}}
34 1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2.
35 {{/formula}}
36
37 Für {{formula}}n=5{{/formula}} erhält man:
38
39 {{formula}}
40 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=15^2.
41 {{/formula}}
42
43 Außerdem ist
44
45 {{formula}}
46 1^3+2^3=1+8=9=3^2.
47 {{/formula}}
48
49 Also gilt:
50
51 {{formula}}
52 3^3+4^3+5^3=15^2-3^2.
53 {{/formula}}
54
55 Mit der dritten binomischen Formel folgt:
56
57 {{formula}}
58 15^2-3^2=(15-3)(15+3)=12\cdot18.
59 {{/formula}}
60
61 Nun wird das Produkt so faktorisiert, dass die dritte Potenz sichtbar wird:
62
63 {{formula}}
64 12\cdot18=(2\cdot6)(3\cdot6)=6^2\cdot6=6^3.
65 {{/formula}}
66
67 Damit ist gezeigt:
68
69 {{formula}}
70 3^3+4^3+5^3=6^3.
71 {{/formula}}
72
73 Also:
74
75 {{formula}}
76 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}
77 =\sqrt[3]{10^3\cdot6^3}
78 =60.
79 {{/formula}}
80 )))
81
82 1. (((**Geometrisches Veranschaulichen.**
83
84 Die Terme {{formula}}3^3{{/formula}}, {{formula}}4^3{{/formula}} und {{formula}}5^3{{/formula}} können als Volumina von Würfeln mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} gedeutet werden.
85
86 Die entscheidende Idee ist:
87
88 {{formula}}
89 3^3+4^3+5^3=6^3.
90 {{/formula}}
91
92 Anschaulich bedeutet das: Die drei Würfel mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} sind zusammen volumengleich zu einem Würfel mit Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}}.
93
94 Eine mögliche Vorstellung:
95
96 * Man beginnt mit dem größten Würfel der Kantenlänge {{formula}}5{{/formula}}.
97 * Um daraus einen Würfel der Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}} zu machen, müssen außen passende Schichten und Randstücke ergänzt werden.
98 * Der Würfel mit Kantenlänge {{formula}}4{{/formula}} kann in Schichten zerlegt werden.
99 * Eine {{formula}}4\times4\times1{{/formula}}-Schicht ist noch keine vollständige {{formula}}5\times5\times1{{/formula}}-Schicht.
100 * Es fehlen jeweils
101
102 {{formula}}
103 5^2-4^2=25-16=9
104 {{/formula}}
105
106 kleine Einheitswürfel in einer L-Form.
107 * Der Würfel mit Kantenlänge {{formula}}3{{/formula}} enthält
108
109 {{formula}}
110 3^3=27=3\cdot9
111 {{/formula}}
112
113 Einheitswürfel und kann genau solche Ergänzungen liefern.
114
115 So wird die Zahl {{formula}}6{{/formula}} nicht erst aus {{formula}}216{{/formula}} erkannt, sondern als Kantenlänge des größeren Würfels sichtbar.
116
117 Daher gilt wieder:
118
119 {{formula}}
120 30^3+40^3+50^3=10^3(3^3+4^3+5^3)=10^3\cdot6^3=60^3.
121 {{/formula}}
122
123 Also ist
124
125 {{formula}}
126 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}=60.
127 {{/formula}}
128 )))
129
130 1. (((**Reflexion der Lösungswege.**
131
132 * Beim geschickten Rechnen wird die Aufgabe stark vereinfacht, weil zunächst der Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert wird. Der Weg bleibt aber teilweise rechnend, da man {{formula}}3^3+4^3+5^3{{/formula}} auswertet und {{formula}}216=6^3{{/formula}} erkennen muss.
133
134 * Beim algebraischen Strukturieren wird nicht direkt mit den drei Kuben gerechnet. Die Identität für Kubiksummen und die dritte binomische Formel zeigen, warum eine dritte Potenz entsteht. Besonders wichtig ist die Umformung
135
136 {{formula}}
137 15^2-3^2=(15-3)(15+3)=12\cdot18=(2\cdot6)(3\cdot6)=6^3.
138 {{/formula}}
139
140 * Beim geometrischen Veranschaulichen steht nicht das Rechnen, sondern das Sehen der Struktur im Vordergrund: Drei Würfel werden als Teile eines größeren Würfels verstanden. Dieser Weg erklärt besonders anschaulich, woher die Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}} kommt.
141
142 Alle drei Wege führen zum gleichen Ergebnis:
143
144 {{formula}}
145 \boxed{60}
146 {{/formula}}
147 )))
148 {{/loesung}}