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Version 3.1 von Martin Rathgeb am 2026/05/08 00:35
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1 (% style="list-style: alphastyle" %)
2 1. Drei Lösungswege: ein arithmetischer, ein algebraischer, ein geometrischer.
3 (((**Geschicktes Rechnen.**
4
5 Zunächst wird der gemeinsame Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert:
6
7 {{formula}}
8 30^3+40^3+50^3
9 =(10\cdot 3)^3+(10\cdot 4)^3+(10\cdot 5)^3
10 =10^3\cdot(3^3+4^3+5^3).
11 {{/formula}}
12
13 Nun gilt:
14
15 {{formula}}
16 3^3+4^3+5^3=27+64+125=216=6^3.
17 {{/formula}}
18
19 Damit folgt:
20
21 {{formula}}
22 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}
23 =\sqrt[3]{10^3\cdot 6^3}
24 =10\cdot 6
25 =60.
26 {{/formula}}
27 )))
28 (((**Algebraisches Strukturieren.**
29
30 Man nutzt die Identität
31
32 {{formula}}
33 1^3+2^3+\dots+n^3=(1+2+\dots+n)^2.
34 {{/formula}}
35
36 Für {{formula}}n=5{{/formula}} erhält man:
37
38 {{formula}}
39 1^3+2^3+3^3+4^3+5^3=(1+2+3+4+5)^2=15^2.
40 {{/formula}}
41
42 Außerdem ist
43
44 {{formula}}
45 1^3+2^3=1+8=9=3^2.
46 {{/formula}}
47
48 Also gilt:
49
50 {{formula}}
51 3^3+4^3+5^3=15^2-3^2.
52 {{/formula}}
53
54 Mit der dritten binomischen Formel folgt:
55
56 {{formula}}
57 15^2-3^2=(15-3)(15+3)=12\cdot18.
58 {{/formula}}
59
60 Nun wird das Produkt so faktorisiert, dass die dritte Potenz sichtbar wird:
61
62 {{formula}}
63 12\cdot18=(2\cdot6)(3\cdot6)=6^2\cdot6=6^3.
64 {{/formula}}
65
66 Damit ist gezeigt:
67
68 {{formula}}
69 3^3+4^3+5^3=6^3.
70 {{/formula}}
71
72 Also:
73
74 {{formula}}
75 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}
76 =\sqrt[3]{10^3\cdot6^3}
77 =60.
78 {{/formula}}
79 )))
80 (((**Geometrisches Veranschaulichen.**
81
82 Die Terme {{formula}}3^3{{/formula}}, {{formula}}4^3{{/formula}} und {{formula}}5^3{{/formula}} können als Volumina von Würfeln mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} gedeutet werden.
83
84 Die entscheidende Idee ist:
85
86 {{formula}}
87 3^3+4^3+5^3=6^3.
88 {{/formula}}
89
90 Anschaulich bedeutet das: Die drei Würfel mit den Kantenlängen {{formula}}3{{/formula}}, {{formula}}4{{/formula}} und {{formula}}5{{/formula}} sind zusammen volumengleich zu einem Würfel mit Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}}.
91
92 Eine mögliche Vorstellung:
93
94 * Man beginnt mit dem größten Würfel der Kantenlänge {{formula}}5{{/formula}}.
95 * Um daraus einen Würfel der Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}} zu machen, müssen außen passende Schichten und Randstücke ergänzt werden.
96 * Der Würfel mit Kantenlänge {{formula}}4{{/formula}} kann in Schichten zerlegt werden.
97 * Eine {{formula}}4\times4\times1{{/formula}}-Schicht ist noch keine vollständige {{formula}}5\times5\times1{{/formula}}-Schicht.
98 * Es fehlen jeweils
99
100 {{formula}}
101 5^2-4^2=25-16=9
102 {{/formula}}
103
104 kleine Einheitswürfel in einer L-Form.
105 * Der Würfel mit Kantenlänge {{formula}}3{{/formula}} enthält
106
107 {{formula}}
108 3^3=27=3\cdot9
109 {{/formula}}
110
111 Einheitswürfel und kann genau solche Ergänzungen liefern.
112
113 So wird die Zahl {{formula}}6{{/formula}} nicht erst aus {{formula}}216{{/formula}} erkannt, sondern als Kantenlänge des größeren Würfels sichtbar.
114
115 Daher gilt wieder:
116
117 {{formula}}
118 30^3+40^3+50^3=10^3(3^3+4^3+5^3)=10^3\cdot6^3=60^3.
119 {{/formula}}
120
121 Also ist
122
123 {{formula}}
124 \sqrt[3]{30^3+40^3+50^3}=60.
125 {{/formula}}
126 )))
127 1. (((**Reflexion der drei Lösungswege.**
128
129 * Beim geschickten Rechnen wird die Aufgabe stark vereinfacht, weil zunächst der Faktor {{formula}}10^3{{/formula}} ausgeklammert wird. Der Weg bleibt aber teilweise rechnend, da man {{formula}}3^3+4^3+5^3{{/formula}} auswertet und {{formula}}216=6^3{{/formula}} erkennen muss.
130
131 * Beim algebraischen Strukturieren wird nicht direkt mit den drei Kuben gerechnet. Die Identität für Kubiksummen und die dritte binomische Formel zeigen, warum eine dritte Potenz entsteht. Besonders wichtig ist die Umformung
132
133 {{formula}}
134 15^2-3^2=(15-3)(15+3)=12\cdot18=(2\cdot6)(3\cdot6)=6^3.
135 {{/formula}}
136
137 * Beim geometrischen Veranschaulichen steht nicht das Rechnen, sondern das Sehen der Struktur im Vordergrund: Drei Würfel werden als Teile eines größeren Würfels verstanden. Dieser Weg erklärt besonders anschaulich, woher die Kantenlänge {{formula}}6{{/formula}} kommt.
138
139 Alle drei Wege führen zum gleichen Ergebnis:
140
141 {{formula}}
142 \boxed{60}
143 {{/formula}}
144 )))