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Lösung Ermittlung der Funktionsgleichung

Zuletzt geändert von Simone Hochrein am 2026/02/03 14:25
  1. \[ a=4, \quad P(2,5 | 14), \quad f(x)=c \cdot a^{x} \]
    \[f(x)=c \cdot 4^x \]
    \[\begin{aligned} f(2,5) &= 4 \\ 4 &= c \cdot 4^{2,5} && | : 4^{2,5} \\ c &= \frac{4}{4^{2,5}} = 0,125 \\ \end{aligned}\]
    \[\Rightarrow f(x)= 0,125 \cdot 4^{x} \]
  2. \[ c=6, \quad P(-1 | 9), \quad f(x)=c \cdot a^{x} \]
    \[f(x)=6 \cdot a^x \]
    \[\begin{aligned} f(-1) &= 9 \\ 9 &= 6 \cdot a^{-1} \\ 9 &= \frac{6}{a} && | \cdot a \quad | : 9 \\ a &= \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \\ \end{aligned}\]
    \[\Rightarrow f(x)= 6 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{x} \]
  3. \[ A(0 | -2), \quad B(2 | -4,5), \quad f(x)=c \cdot a^{x} \]
    \[\begin{aligned} f(0) &= -2 \Rightarrow -2 = c \cdot a^{0} \Rightarrow c = -2 \\ f(x) &= -2 \cdot a^{x} \\ f(2) &= -4,5 \\ -4,5 &= -2 \cdot a^{2} && | : (-2) \\ 2,25 &= a^{2} && | \sqrt{\phantom{x}} \\ a &= 1,5 \\ \end{aligned}\]
    \[\Rightarrow f(x)= -2 \cdot 1,5^{x} \]
  4. \[ A(1 | 1,5), \quad B(2 | 4,5), \quad f(x)=c \cdot a^{x} \]
    \[\begin{aligned} 1,5 &= c \cdot a && (1) \\ 4,5 &= c \cdot a^{2} && (2) \\ \text{aus (1): } c &= \frac{1,5}{a} && (3) \\ \text{(3) in (2): } 4,5 &= \frac{1,5}{a} \cdot a^{2} \\ 4,5 &= 1,5 \cdot a && | : 1,5 \\ a &= 3 && (4) \\ \text{(4) in (3): } c &= \frac{1,5}{3} = 0,5 \\ \end{aligned}\]
    \[\Rightarrow f(x)= 0,5 \cdot 3^{x} \]
  5. \[ A(2 | 1), \quad B(5 | 27), \quad f(x)=c \cdot a^{x} \]
    \[\begin{aligned} 1 &= c \cdot a^{2} && (1) \\ 27 &= c \cdot a^{5} && (2) \\ \text{aus (1): } c &= \frac{1}{a^{2}} && (3) \\ \text{(3) in (2): } 27 &= \frac{1}{a^{2}} \cdot a^{5} \\ 27 &= a^{3} && | \sqrt[3]{\phantom{x}} \\ a &= 3 && (4) \\ \text{(4) in (3): } c &= \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9} \\ \end{aligned}\]
    \[\Rightarrow f(x)= \frac{1}{9} \cdot 3^{x} \]
  6. \[ A(2 | 16), \quad B(-2 | \frac{81}{16}), \quad f(x)=c \cdot a^{x} \]
    \[\begin{aligned} 16 &= c \cdot a^{2} && (1) \\ \frac{81}{16} &= c \cdot a^{-2} && (2) \\ \text{aus (1): } c &= \frac{16}{a^{2}} && (3) \\ \text{(3) in (2): } \frac{81}{16} &= \frac{16}{a^{2}} \cdot a^{-2} \\ \frac{81}{16} &= \frac{16}{a^{2}} \cdot \frac{1}{a^{2}} \\ \frac{81}{16} &= \frac{16}{a^{4}} && | \text{ Kehrwert} \\ \frac{16}{81} &= \frac{a^{4}}{16} && | \cdot 16 \\ a^{4} &= \frac{256}{81} && | \sqrt[4]{\phantom{x}} \\ a &= \frac{4}{3} && (4) \\ \text{(4) in (3): } c &= \frac{16}{(4/3)^{2}} = 9 \\ \end{aligned}\]
    \[\Rightarrow f(x)= 9 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^{x} \]