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Version 7.1 von Reinhard Ansorge am 2026/02/03 12:30
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1 === a) Vergleich der Sparmodelle ===
2 Berechnung des Betrags beim Modell {{formula}}M{{/formula}}:
3
4 {{formula}}M(16) = 1,00 \cdot 2^{16} \approx 65.536{,}00{{/formula}}
5
6 Vergleich:
7 {{formula}}65.536{,}00 > 4.000{,}00{{/formula}}
8
9 Feststellung:
10 Der Betrag ist reichlich mehr als genug für den Führerschein.
11
12 Berechnung des Betrags beim Modell {{formula}}T{{/formula}}:
13
14 {{formula}}T(16) = 1 \cdot 1{,}5^{16} \approx 656{,}84{{/formula}}
15
16 Vergleich:
17 {{formula}}656{,}84 < 4.000{,}00{{/formula}}
18
19 Feststellung:
20 Der Betrag reicht bei Weitem nicht für den Führerschein.
21
22 === b) Erforderlicher Wachstumsfaktor ===
23 Gegeben ist:
24
25 {{formula}}B(16) = 1 \cdot a^{16} = 4.000{,}00{{/formula}}
26
27 Umstellen nach {{formula}}a{{/formula}}:
28
29 {{formula}}a^{16} = 4.000{{/formula}}
30
31 {{formula}}a = \sqrt[16]{4.000} \approx 1{,}68{{/formula}}
32
33 Ergebnis:
34 Der Betrag von {{formula}}1,€{{/formula}} zur Geburt müsste an jedem Geburtstag um etwa {{formula}}68,%{{/formula}} wachsen.
35
36 === c) Anfangsbetrag beim Modell T ===
37 Gegeben ist:
38
39 {{formula}}T(16) = T(0) \cdot 1{,}5^{16} = 4.000{,}00,€{{/formula}}
40
41 Umstellen nach {{formula}}T(0){{/formula}}:
42
43 {{formula}}T(0) = \frac{4.000{,}00}{1{,}5^{16}} \approx 6{,}09{{/formula}}
44
45 Ergebnis:
46 Der Anfangsbetrag müsste etwa {{formula}}6{,}09{{/formula}} betragen.
47
48 === d) Zeitpunkt des Erreichens von 4.000 € ===
49 Gegeben ist:
50
51 {{formula}}M(t) = 1 \cdot 2^{t} = 4.000{,}00{{/formula}}
52
53 Umstellen nach {{formula}}t{{/formula}}:
54
55 {{formula}}2^{t} = 4.000{{/formula}}
56
57 {{formula}}t = \log_{2}(4.000) \approx 11{,}97{{/formula}}
58
59 Ergebnis:
60 Der Betrag von {{formula}}4.000{,}00,€{{/formula}} wird kurz vor dem {{formula}}12{{/formula}}. Geburtstag erreicht.