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Zuletzt geändert von Reinhard Ansorge am 2026/02/03 17:06
Verstecke letzte Bearbeiter
Reinhard Ansorge 6.1 1 === a) Vergleich der Sparmodelle ===
Reinhard Ansorge 13.1 2 Berechnung des Betrags für Maria {{formula}}M{{/formula}}:
Reinhard Ansorge 5.1 3
Reinhard Ansorge 7.1 4 {{formula}}M(16) = 1,00 \cdot 2^{16} \approx 65.536{,}00{{/formula}}
Reinhard Ansorge 5.1 5
6 Vergleich:
Reinhard Ansorge 7.1 7 {{formula}}65.536{,}00 > 4.000{,}00{{/formula}}
Reinhard Ansorge 5.1 8
9 Feststellung:
Reinhard Ansorge 6.1 10 Der Betrag ist reichlich mehr als genug für den Führerschein.
Reinhard Ansorge 5.1 11
Reinhard Ansorge 13.1 12 Berechnung des Betrags für Tom {{formula}}T{{/formula}}:
Reinhard Ansorge 5.1 13
Reinhard Ansorge 7.1 14 {{formula}}T(16) = 1 \cdot 1{,}5^{16} \approx 656{,}84{{/formula}}
Reinhard Ansorge 5.1 15
16 Vergleich:
Reinhard Ansorge 7.1 17 {{formula}}656{,}84 < 4.000{,}00{{/formula}}
Reinhard Ansorge 5.1 18
19 Feststellung:
20 Der Betrag reicht bei Weitem nicht für den Führerschein.
21
Reinhard Ansorge 6.1 22 === b) Erforderlicher Wachstumsfaktor ===
Reinhard Ansorge 5.1 23 Gegeben ist:
Reinhard Ansorge 6.1 24
Reinhard Ansorge 7.1 25 {{formula}}B(16) = 1 \cdot a^{16} = 4.000{,}00{{/formula}}
Reinhard Ansorge 5.1 26
27 Umstellen nach {{formula}}a{{/formula}}:
28
29 {{formula}}a^{16} = 4.000{{/formula}}
30
31 {{formula}}a = \sqrt[16]{4.000} \approx 1{,}68{{/formula}}
32
33 Ergebnis:
Reinhard Ansorge 10.1 34 Der Betrag von {{formula}}1{{/formula}} zur Geburt müsste an jedem Geburtstag um etwa {{formula}}68{{/formula}} % wachsen.
Reinhard Ansorge 5.1 35
Reinhard Ansorge 11.1 36 === c) Anfangsbetrag bei Tom ===
Reinhard Ansorge 5.1 37 Gegeben ist:
Reinhard Ansorge 6.1 38
Reinhard Ansorge 8.1 39 {{formula}}T(16) = T(0) \cdot 1{,}5^{16} = 4.000{,}00{{/formula}}
Reinhard Ansorge 5.1 40
41 Umstellen nach {{formula}}T(0){{/formula}}:
42
Reinhard Ansorge 7.1 43 {{formula}}T(0) = \frac{4.000{,}00}{1{,}5^{16}} \approx 6{,}09{{/formula}}
Reinhard Ansorge 5.1 44
45 Ergebnis:
Reinhard Ansorge 12.1 46 Der Anfangsbetrag müsste etwa {{formula}}6{,}09{{/formula}} € betragen.
Reinhard Ansorge 5.1 47
48 === d) Zeitpunkt des Erreichens von 4.000 € ===
49 Gegeben ist:
Reinhard Ansorge 6.1 50
Reinhard Ansorge 7.1 51 {{formula}}M(t) = 1 \cdot 2^{t} = 4.000{,}00{{/formula}}
Reinhard Ansorge 5.1 52
53 Umstellen nach {{formula}}t{{/formula}}:
54
55 {{formula}}2^{t} = 4.000{{/formula}}
56
57 {{formula}}t = \log_{2}(4.000) \approx 11{,}97{{/formula}}
58
59 Ergebnis:
Reinhard Ansorge 9.1 60 Der Betrag von {{formula}}4.000{,}00{{/formula}} wird kurz vor dem {{formula}}12{{/formula}}. Geburtstag erreicht.