BPE 1.1 Rechnen mit Termen
Inhalt
AFB II Text Pizza-Party Algebraische Begriffe 2 Summe gesucht Binome ergänzen
AFB III Potenzen mit negativen Exponenten
K5 Ich kann die Rechengesetze bei Termen mit Variablen anwenden.
K3 Ich kann Sachzusammenhänge als Terme deuten.
K5 Ich kann den Wert von Termen durch das Einsetzen von Zahlen berechnen.
Aufgabe 1 Typ 𝕃
Begründe, ob es sich um eine Summe, ein Produkt oder eine Potenz handelt!
- \( 2 \cdot a + 3 \)
- \( 2 \cdot (a + 3) \)
- \( 2 \cdot a^3 \)
- \( 2^{a + 3} \)
| AFB I | Kompetenzen K6 K5 | Bearbeitungszeit 3 min |
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| Links KMap Termbaum | ||
Aufgabe 2 Text 𝕃
Bestimme einen Term, der den Mittelwert einer Zahl, ihrem Doppelten und ihrer Hälfte berechnet!
| AFB II | Kompetenzen K4 K5 | Bearbeitungszeit 3 min |
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Aufgabe 3 Vereinfachen A 𝕃
Bestimme die einfachste Form der folgenden Terme.
- \( 3a - 2 \cdot (a - 5b) \)
- \( (2a - 4b):2 + 3a + b \)
| AFB I | Kompetenzen K5 | Bearbeitungszeit 4 min |
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Zusammenfassen
Aufgabe 4 Vereinfachen B 𝕃
Bestimme die einfachste Form der folgenden Terme.
a) \( -(a-b) + 1 -(a-b) + 2a - 2b \)
b) \( \frac{2}{3}a + \frac{b}{6} - \frac{a}{3} + \frac{-b}{3} \)
c) \( a + 2ab + b -2a - ab \)
| AFB I | Kompetenzen K5 | Bearbeitungszeit 8 min |
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Ausmultiplizieren
Aufgabe 5 Ausmultiplizieren 𝕃
Gib, die ausmultiplizierte und vereinfachte Form der folgenden Terme an.
a) \( (a+b)(a-b) \)
b) \( -(a + 2) (b - 2) \)
c) \( \frac{2}{3} (9a-6b) \)
| AFB I | Kompetenzen K5 | Bearbeitungszeit 6 min |
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Ausklammern
Aufgabe 6 Faktorisieren 𝕃
Gib die faktorisierte Form der Terme an.
a) \( a^2 - 5a = \)
b) \( 9a^3 - 2a = \)
c) \( -a^4 + 3a^2 = \)
d) \( \frac{1}{2}a^4 - a = \)
| AFB I | Kompetenzen K5 | Bearbeitungszeit 8 min |
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Binome
Aufgabe 7 Binomische Formeln 𝕃
Berechne mit Hilfe der binomischen Formeln!
a) \( ( a+ 3 )^{2}= \)
b) \( -(a + 2) (a - 2)= \)
c) \( ( 2a- 4 )^{2}= \)
| AFB I | Kompetenzen K5 | Bearbeitungszeit 5 min |
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Aufgabe 8 Algebraische Begriffe 𝕃
Gib an, welche der unten aufgeführten Rechenausdrücke zu folgender Aufgabe passt:
Subtrahiere vom Produkt der Zahlen 12 und 17 die achtfache Differenz der Zahlen 50 und 28.
- \(12\cdot 17-8 \cdot 50-28\)
- \((12+17)-8\cdot 50-28\)
- \(12\cdot 17-8 \cdot (50-28)\)
- \((12+17)-8-(50-28)\)
| AFB I | Kompetenzen K4 K5 | Bearbeitungszeit 1 min |
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Aufgabe 9 Pizza-Party 𝕃
Richard, Jürgen und Hans-Willi organisieren zusammen eine große Party. Sie bestellen bei einem Pizzaservice 18 Pizzen. Nach der Party zählen die drei Freunde, dass 11 Pizzaschachteln leer, 5 noch halb voll und 2 Schachteln ganz voll sind. Da alle auch gerne eine kalte Pizza essen, möchten sie die Pizzaschachteln so untereinander aufteilen, dass jeder gleich viel bekommt. Ermittle, wie viele Pizzaschachteln jeder dann bekommt.
| AFB II | Kompetenzen K5 K6 | Bearbeitungszeit 7 min |
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Aufgabe 10 Algebraische Begriffe 2 𝕃
Bestimme einen Rechenausdruck:
Multipliziere die Differenz der Zahlen 31 und 12 mit 20, addiere dazu das Produkt der Zahlen 35 und 7 und subtrahiere vom Ergebnis die Differenz der Zahlen 45 und 20.
| AFB II | Kompetenzen K4 K5 | Bearbeitungszeit 4 min |
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Aufgabe 11 Summe gesucht 𝕃
Das Ergebnis einer Addition von Brüchen ist \(\frac{19}{24}\). Bestimme einen Rechenausdruck, wie die Summe zustande gekommen sein kann.
| AFB II | Kompetenzen K2 K4 K5 | Bearbeitungszeit 6 min |
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Aufgabe 12 Was gehört zusammen? 𝕃
Bestimme zu jedem Term in der linken Spalte den passenden Sachverhalt die Sachverhalte in der rechten Spalte.
| Zwei Strohhalme unterscheiden sich um 5cm. Der längere hat die Länge x. Wenn man die Strohhalme hintereinander legt, haben sie eine Gesamtlänge von 60cm. | \((x+5) + x = 60\) |
| x ist das Alter von Kurt. Hanne ist 5 Jahre älter. Zusammen sind sie 60 Jahre alt. | \( x \cdot \frac{3}{100}=60\) |
| Herr Müller erhält bei einem Guthaben von x € Zinsen in Höhe von 60€. Der Zinssatz beträgt 3%. | \((x+12)(x-5) = 60\) |
| Eine Seite eines Quadrates wird um 12cm verlängert, die andere um 5cm verkürzt. Der Flächeninhalt der neuen Figur beträgt 60cm². | \( x \cdot \frac{3}{100\cdot 12}=60\) |
| Auf einer 60kg schweren Palette stehen 5 gleiche Stühle. Die leere Palette wiegt 12kg. | \((x-5) + x = 60\) |
| Für ein Guthaben von x € erhält Frau Müller 3% Zinsen. Jeden Monat sind dies 60€. | \((x+5)x = 60\) |
| Ein rechteckiges Freigehege, bei dem sich die beiden Seitenlängen um 5m unterscheiden, hat eine Fläche von 60m². | \(60 - 5x = 12\) |
| Johnny hat eine Spardose. Johnny hat 5 Schwestern. In der Spardose befinden sich 60€. An seine Schwestern muss er jeweils einen gleichen Geldbetrag überreichen. Am Schluss verbleiben ihm 12€. | \(5x + 12 =60\) |
| AFB I | Kompetenzen K4 | Bearbeitungszeit 5 min |
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Aufgabe 13 Falsche Termumformungen 𝕃
Begründe jeweils anhand eines Zahlenbeispiels, dass folgende Termumformungen falsch sind. Gib, wenn es geht, die richtige Termumformung an.
- \(a-(b-c)=a-b-c\)
- \(p\cdot (q\cdot r)= (p\cdot q)\cdot (p\cdot r)\)
- \((a+b)^2=a^2+b^2\)
- \(x^2\cdot y^3=(x\cdot y)^5\)
- \((-a)^2=-a^2\)
- \(\frac{1}{x+y}=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)
- \(\sqrt{p^2+q^2}=p+q\)
- \(\sqrt{x^2}=x\)
Gibt es Zahlenbeispiele, für die die obigen Umformungen zufällig richtig sind?
| AFB I | Kompetenzen K5 | Bearbeitungszeit 8 min |
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Aufgabe 14 Zuordnungsaufgabe Ausklammern,Faktorisieren 𝕃
Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.
| Term | Auswahlmöglichkeiten | Lösungsfeld |
| 1) \(3x^2 - 2x\) | a) \(x(3x-2)\) b) \(3x\) c) \(3x(x-2)\) | |
| 2) \(2x^2 - 8\) | a) \(2(x+2)(x-2)\) b) \(2(x-2)^2\) c) \(2x(x-2)\) | |
| 3) \(\frac{x^2 - 9}{x + 3}\) | a) \(x - 3\) b) \(x\) c) \(x + 3\) | |
| 4) \(x^3 + 2x^2\) | a) \(2x^5\) b) \(2x^6\) c) \(x^2(x+2)\) | |
| 5) \(5x^2 - 10x + 5\) | a) \(5(x+1)^2\) b) \(5(x-1)^2\) c) \(5(x-1)(x+1)\) |
| AFB I | Kompetenzen K4 | Bearbeitungszeit 4 min |
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Aufgabe 15 Zuordnungsaufgabe Binome 𝕃
Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.
| Term | Auswahlmöglichkeiten | Lösungsfeld |
| 1) \(x^2 - 4\) | a) \((x + 2)(x + 2)\) b) \((x - 4)(x + 4)\) c) \((x + 2)(x - 2)\) | |
| 2) \((x - 2)^2\) | a) \(x^2 - 4x + 4\) b) \(x^2 + 4x + 4\) c) \(x^2 - 2x + 4\) | |
| 3) \((x - 3)(x + 3)\) | a) \(x^2 + 9\) b) \(x^2 - 9\) c) \((x - 3)^2\) | |
| 4) \((x + 1)^2\) | a) \(x^2 + 2x + 2\) b) \(x^2 + 1\) c) \((x + 1)(x + 1)\) | |
| 5) \((2x - 4)^2\) | a) \(2x^2 - 8x + 16\) b) \((2x - 4)(2x + 4)\) c) \(4x^2 - 16x + 16\) | |
| 6) \(16x^2 - 25\) | a) \((8x - 5)(8x + 5)\) b) \((4x - 5)(4x - 5)\) c) \((4x + 5)(4x - 5)\) | |
| 7) \((0,\!5x - 1)(0,\!5x - 1)\) | a) \(0,\!25x^2 - 1\) b) \(0,\!25x^2 - x + 1\) c) \((0,\!5x + 1)^2\) |
| AFB I | Kompetenzen K4 | Bearbeitungszeit 5 min |
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Aufgabe 16 Zuordnungsaufgabe Potenzgesetze
Die Terme in den Aufgaben können jeweils in eine der Auswahlmöglichkeiten umgeformt werden. Entscheide, welche Auswahlmöglichkeit die richtige ist, und trage dann a), b) bzw. c) in das Lösungsfeld ein.
| Term | Auswahlmöglichkeiten | Lösungsfeld |
| 1) \(2x^2 + x^2\) | a) \(3x^4\) b) \(2x^4\) c) \(3x^2\) | |
| 2) \((-1)^2 + (5x)^0 + 3^0\) | a) \(6x+4\) b) \(1\) c) \(3\) | |
| 3) \(3^{2x} \cdot 3^x\) | a) \(3^{2x^2}\) b) \(3^{3x}\) c) \(9^{2x^2}\) | |
| 4) \((5b^2)^8\) | a) \(5b^6\) b) \(125b^6\) c) \(125b^5\) | |
| 5) \(5 \cdot 3^x - 3^x\) | a) \(4 \cdot 3^x\) b) \(12^x\) c) \(5\) | |
| 6) \(ab^2 : ab\) | a) \(b^3\) b) \(b\) c) \(a^2b^2\) | |
| 7) \(2x^2y + 3xy^2 + 5xy^2 - 7x^2y\) | a) \(3x^2y^3\) b) \(8xy^2 - 5x^2y\) c) \(3x^2y^2\) | |
| 8) \(10^x : 10^x\) | a) \(10^{2x}\) b) \(1\) c) \(10\) |
| AFB I | Kompetenzen k.A. | Bearbeitungszeit k.A. |
| Quelle Team Mathebrücke | Lizenz CC BY-SA | |
Aufgabe 17 Binome ergänzen 𝕃
Trage jeweils ein, welche Werte für die Symbole eingesetzt werden müssen, so dass die Termumformung richtig ist.
| a) \((x + \square)(x - \square) = x^2 - 25\) | \(\square=\) |
| b) \((2x - \square)^2 = 4x^2 - \Delta + 9\) | \(\square=\) \(\Delta=\) |
| c) \((x - \square)^2 = x^2 - 4xy + \Delta\) | \(\square=\) \(\Delta=\) |
| d) \((2z - \square)^2 =\heartsuit -8z + \Delta\) | \(\square=\) \(\Delta=\) \(\heartsuit=\) |
| e) \((4x - \square)(4x + \square) = \Delta - 49y^2\) | \(\square=\) \(\Delta=\) |
| AFB II | Kompetenzen K5 | Bearbeitungszeit 5 min |
| Quelle Team Mathebrücke | Lizenz CC BY-SA | |
Aufgabe 18 Fehlerteufel
Tim stellt seinem Nachhilfeschüler Kevin zwei Aufgaben.
Welcher der angegebenen Terme stellt die richtige Umformung dar?
Erläutere bei a), welche Fehler gemacht wurden.
- Löse die Klammer auf:
- \((5ab)^3\)
- \(5a^3b^3\)
- \(125a^3b\)
- \(125a^3b^3\)
- \(15a^3b^3\)
- \(5ab^3\)
- Vereinfache soweit wie möglich:
- \(v^6:v^{n-6}\)
- \(v^{-n}\)
- \(v^{n+12}\)
- \(v^{-1+n}\)
- \(v^{12-n}\)
- \(v^{n-12}\)
| AFB I | Kompetenzen K5 K6 | Bearbeitungszeit 5 min |
| Quelle Team Mathebrücke | Lizenz CC BY-SA | |
Aufgabe 19 Potenzen mit negativen Exponenten
Tim überlegt: Wenn \(2^{-1}\) dasselbe ist wie \(\frac{1}{2}\), dann ist doch \(3^{-2}\) dasselbe wie \(\frac{2}{3}\).
Welches Muster liegt dieser Vorgehensweise zugrunde? Was wäre demnach \(10^{-2}\)?
Begründe, ob Tim Recht hat.
| AFB III | Kompetenzen k.A. | Bearbeitungszeit k.A. |
| Quelle Team Mathebrücke | Lizenz CC BY-SA | |
Aufgabe 20 Rechnen mit Potenzen 𝕋
- Fasse zusammen:
- \(3a^2 + 5b^3 - 2a^2 + c^2 + 2b^3\)
- \(2xy^2 + 8x^2 + y^2x - 2x^2 + xy^2 + 2y^2x\)
- \(2(4x)^2 + 2 - 6x^2 - (3x)^2 - 6x - 1\)
- Wende die Potenzgesetze an:
- \(a^2 \cdot a^4 + b \cdot b^5\)
- \(-10a^2 + 2a(a+2)\)
- \(y^3 \cdot (-x)^3\)
- \(\left(\frac{x}{3}\right)^4 \cdot 3^4\)
- \(\frac{b^{n+2}}{b^n}\)
- \(\frac{(2x)^5}{(2x)^{a+5}}\)
- \(\frac{2^3}{\left(\frac{1}{2}\right)^3}\)
- \(\frac{(-2x)^4}{(-y)^4}\)
- \((-2y)^3\)
- \((5a^3b^2)^3\)
| AFB I | Kompetenzen K5 | Bearbeitungszeit 8 min |
| Quelle Team Mathebrücke | Lizenz CC BY-SA | |
Aufgabe 21 Termumformungen 𝕋 𝕃
Löse die Klammern auf und fasse zusammen („vereinfache“):
1.a) \(2(4a - 5) - 3(2a - 3) + 4(-3a + 5)\)
1.b) \(x - (x + 3) - 4(-x + 1)\)
2.a) \(6a - 2(7b - (4a + 3b)) + 2((2a - b) - 7a)\)
2.b) \(2x + 3(4 - (2x + 1) + 3x)\)
Multipliziere aus und vereinfache:
3.a) \((3a + b)(a - 5b)\)
3.b) \((4x - 3)(-x + \frac{1}{3})\)
4.a) \((2x + y)^2\)
4.b) \((x - 3y)^2\)
4.c) \((x^2 - 2)(x^2 + 2)\)
4.d) \((3 - x)^2 - (x + 1)^2 + 2(x - 1)(x + 1)\)
Klammere aus („Faktorisiere“):
5.a) \(12ax^2 - 8ax\)
5.b) \(3x^2 - 12\)
5.c) \(\frac{3ax^2 - 3a}{9x + 9}\)
| AFB I | Kompetenzen k.A. | Bearbeitungszeit k.A. |
| Quelle Team Mathebrücke | Lizenz CC BY-SA | |
Aufgabe 22 Richtig oder falsch? 𝕃
Wähle die richtige(n) Aussage(n) aus und begründe deine Entscheidung.
Dividiere 30 durch \(\frac{1}{2}\) und addiere zum Ergebnis 15. Gib das richtige Ergebni an. Begründe deine Entscheidung.
☐ 30, weil \(15 + 15 = 30\)
☐ 75, weil \(15 + 60 = 75\)
☐ 22,5, weil \(45 : 2 = 22,5\)
☐ 75, weil \(\frac{1}{2}\) 60mal in die 30 passt und \(60 + 15 = 75\)
| AFB I | Kompetenzen k.A. | Bearbeitungszeit k.A. |
| Quelle Team Mathebrücke | Lizenz CC BY-SA | |
Kompetenzmatrix und Seitenreflexion
| K1 | K2 | K3 | K4 | K5 | K6 | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| I | 0 | 0 | 0 | 4 | 10 | 2 |
| II | 0 | 1 | 0 | 3 | 5 | 1 |
| III | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| Abdeckung Bildungsplan | ||
|---|---|---|
| Abdeckung Kompetenzen | ||
| Abdeckung Anforderungsbereiche | ||
| Eignung gemäß Kriterien | ||
| Umfang gemäß Mengengerüst |