Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.sandravogt
	1	+XWiki.martinawagner

Inhalt

...	...	@@ -4,7 +4,7 @@
4	4	[[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5	5
6	6	{{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7		-Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
	7	+Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
8	8
9	9	☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10	10	☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
...	...	@@ -18,39 +18,34 @@
18	18	{{/aufgabe}}
19	19
20	20	{{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21		-Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
	21	+Gib, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22	22	(%class="abc"%)
23		-1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24		-
25		-1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26		-
27		-1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28		-
29		-1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
30		-
	23	+1. Jede Gleichung hat eine Lösung
	24	+1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
	25	+1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
	26	+1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
31	31	{{/aufgabe}}
32	32
33	33	{{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34		-Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
	30	+Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
35	35
36	36	{{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37		-
38	38	{{/aufgabe}}
39	39
40	40	{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41		-Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
	36	+Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
42	42
43	43	(% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
44		-|= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45		-| {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46		-| {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47		-| {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48		-| {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49		-| {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50		-| {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51		-| {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52		-| {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53		-| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
	39	+|= Gleichung |= Lösungsmenge
	40	+| 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
	41	+| 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
	42	+| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
	43	+| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
	44	+| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
	45	+| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
	46	+| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
	47	+| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
	48	+| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
54	54	{{/aufgabe}}
55	55
56	56	{{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
...	...	@@ -62,13 +62,13 @@
62	62	{{/aufgabe}}
63	63
64	64	{{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65		-Löse die folgenden Aufgaben:
66	66	(%class=abc%)
67		-1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68		-
69		-1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
	61	+1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
	62	+1. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}
70	70	{{/aufgabe}}
71	71
	65	+
	66	+
72	72	{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
73	73
74	74	Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
...	...	@@ -81,95 +81,75 @@
81	81	{{/aufgabe}}
82	82
83	83	{{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
84		-Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
	79	+Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
85	85	(% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
86	86	|= Bruch |= Definitionsmenge
87		-| {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
88		-| {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
89		-| {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
90		-| {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
91		-| {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
	82	+| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
	83	+| 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
	84	+| 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
	85	+| 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
	86	+| 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
92	92	{{/aufgabe}}
93	93
94	94	{{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
95		-Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
96		-(%class="abc"%)
	90	+Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
	91	+ (%class="123"%)
	92	+
97	97	1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
98		-
99	99	1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100		-
101	101	1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
102		-
103	103	1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
104		-
105	105	1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
106		-
107	107	{{/aufgabe}}
108	108
109	109	{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
110		-Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
111		-(%class="abc"%)
112		-1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
113		-
	101	+ (%class="123"%)
	102	+Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
	103	+
	104	+1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
114	114	1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
115	115	{{/aufgabe}}
116	116
117	117	{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
118		-Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe:
119		-
120		-{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
	109	+Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
121	121
122		-Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
	111	+Azra
	112	+{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
	113	+{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
	114	+Alex
	115	+{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
	116	+{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
	117	+{{/aufgabe}}
123	123
124		-{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
125		-
126		-(%class="abc"%)
127		-1. Begründe, ob Alex recht hat.
128		-
129		-1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
130		- {{/aufgabe}}
131		-
132	132	{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
133		-Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
134		-(%class="abc"%)
	120	+Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
	121	+ (%class="123"%)
135	135	1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
136		-
137	137	1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
138		-
139		-1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
140		-
	124	+1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
141	141	1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
142		-
143	143	1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
144	144	{{/aufgabe}}
145	145
146	146	{{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
147		-Eine unvollständige Bruchgleichung ist gegeben. Ergänze die Lücke jeweils so, dass die Bruchgleichung
	130	+Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
	131	+{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
	132	+ ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
	133	+ ◦ keine Lösung
	134	+ ◦ unendlich viele Lösungen
	135	+ besitzt.
148	148
149		-{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
150		-
151		-(%class="abc"%)
152		-1. {{formula}} x = -0,5 {{/formula}} als einzige Lösung
153		-1. keine Lösung
154		-1. unendlich viele Lösungen
155		-besitzt.
156		-
157	157	{{/aufgabe}}
158	158
159	159	{{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
160		-Um die Jahreszinsen {{formula}}Z{{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt die folgende Formel:
161		-
162		-{{formula}}Z = \frac{K \cdot p}{ 100 }{{/formula}}
163		-
164		-//wobei
165		-,,{{formula}}K{{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
166		-{{formula}}p{{/formula}}: Zinssatz//,,
167		-
	140	+Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
	141	+{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
	142	+{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
	143	+{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
168	168	(%class="abc"%)
169		-1. Bestimme die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
170		-
171		-1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich, sondern monatlich berechnet werden.
172		-Gib hierzu eine Formel an.
	145	+1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
	146	+1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
	147	+ Gib hierzu eine Formel an.
173	173	{{/aufgabe}}
174	174
175	175	{{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
...	...	@@ -178,16 +178,13 @@
178	178	{{/aufgabe}}
179	179
180	180	{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
181		-[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}}h{{/formula}} voneinander haben. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}}a{{/formula}}, die kürzere mit {{formula}}c{{/formula}} bezeichnet werden.
182		-
183		-(%class="abc"%)
184		-1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}}a{{/formula}}, {{formula}}c{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}.
185		-
186		-1. Zur Berechnung des Flächeninahlts {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes kann man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multiplizieren. Gib die Formel zur Berechnung von {{formula}}A{{/formula}} an.
187		-
188		-1. Begründe, ob man die Höhe {{formula}}h{{/formula}} mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
189		-
190		-1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite {{formula}}a{{/formula}} umgeformt ist.
	156	+Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
	157	+[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
	158	+ (%class="abc"%)
	159	+ 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
	160	+ 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
	161	+ 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
	162	+ 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
191	191	{{/aufgabe}}
192	192
193	193	{{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
...	...	@@ -194,7 +194,7 @@
194	194	Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
195	195	In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
196	196	In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
197		-(%class="abc"%)
	169	+ (%class="abc"%)
198	198	1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
199	199	1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
200	200	1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.