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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Martina Wagner am 2025/11/27 09:27
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bearbeitet von Stephanie Wietzorek
am 2025/11/17 16:47
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bearbeitet von Martina Wagner
am 2025/11/25 14:37
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.wies
1 +XWiki.martinawagner
Inhalt
... ... @@ -3,8 +3,6 @@
3 3  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5 5  
6 -== Äquivalenzumformungen ==
7 -
8 8  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
9 9  Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
10 10  
... ... @@ -20,7 +20,7 @@
20 20  {{/aufgabe}}
21 21  
22 22  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
23 -Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
21 +Gib, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
24 24  (%class="abc"%)
25 25  1. Jede Gleichung hat eine Lösung
26 26  1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
... ... @@ -28,8 +28,6 @@
28 28  1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
29 29  {{/aufgabe}}
30 30  
31 -== Lösen von Gleichungen ==
32 -
33 33  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34 34  Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
35 35  
... ... @@ -36,8 +36,7 @@
36 36  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37 37  {{/aufgabe}}
38 38  
39 -
40 -{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
35 +{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 41  Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
42 42  
43 43  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
... ... @@ -53,8 +53,16 @@
53 53  | 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
54 54  {{/aufgabe}}
55 55  
56 -{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
51 +{{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
52 +Es ist folgende Gleichung gegeben:
57 57  
54 +{{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
55 +
56 +Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung immer lösbar ist und gehe auf die Anzahl an Lösungen ein.
57 +{{/aufgabe}}
58 +
59 +{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
60 +
58 58  Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
59 59  {{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
60 60  
... ... @@ -64,13 +64,11 @@
64 64  ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
65 65  {{/aufgabe}}
66 66  
67 -== Bruchgleichungen ==
68 -
69 69  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
70 70  Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
71 71  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
72 72  |= Bruch |= Definitionsmenge
73 -| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
74 +| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
74 74  | 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
75 75  | 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
76 76  | 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
... ... @@ -81,35 +81,33 @@
81 81  Finde den Hauptnenner folgender Brüche
82 82   (%class="123"%)
83 83  
84 - 1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
85 - 1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
86 - 1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
87 - 1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
88 - 1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
85 +1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
86 +1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
87 +1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
88 +1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
89 +1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
89 89  {{/aufgabe}}
90 90  
91 -{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
92 +{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
92 92   (%class="123"%)
93 93  Überprüfe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
94 94  
95 95  1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
96 96  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
97 -
98 -
99 99  {{/aufgabe}}
100 100  
101 -{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
102 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Definitionsmenge anders dargestellt und auch eine andere Lösungsmenge herausbekommen. Nimm dazu Stellung:
103 -
100 +{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
101 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
102 +
103 +Azra
104 104  {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
105 -{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
106 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
107 -{{formula}}12x = 10 {{/formula}}
108 -{{formula}}x = \frac{12}{10}{{/formula}}
109 -{{formula}} L = \{\frac{12}{10}\} {{/formula}}
105 +{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
106 +Alex
107 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
108 +{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
110 110  {{/aufgabe}}
111 111  
112 -{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
111 +{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
113 113  Löse unter Angabe der Definitionsmenge folgende Gleichungen:
114 114   (%class="123"%)
115 115  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
... ... @@ -130,7 +130,15 @@
130 130  
131 131  {{/aufgabe}}
132 132  
133 -== Formeln ==
132 +{{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
133 +Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
134 +{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
135 +{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
136 +{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
137 +(%class="abc"%)
138 +1. Forme die Formel nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} um.
139 +1. Wie müsste man die Formel abändern, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden? Gib hierzu eine Formel an.
140 +{{/aufgabe}}
134 134  
135 135  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
136 136  Die Geschwindigkeit {{formula}} V {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} V = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
... ... @@ -137,22 +137,24 @@
137 137  Forme die Formel nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} um.
138 138  {{/aufgabe}}
139 139  
140 -{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
147 +{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
141 141  Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
142 142  [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
143 143   (%class="abc"%)
144 144   1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit den Parametern {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
145 - 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Stelle diese Formel für {{formula}} A {{/formula}} auf.
152 + 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Bestimme diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}.
146 146   1. Überprüfe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
147 147   1. Forme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach der längeren Seite um.
148 -
149 149  {{/aufgabe}}
150 150  
151 -{{aufgabe id="Bremsweg" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
157 +{{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
152 152  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
153 -In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{V}{10}\cdot \frac{V}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} V {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
154 -In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{V^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} V {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
155 -
159 +In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} V {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
160 +In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
161 + (%class="abc"%)
162 +1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
163 +1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
164 +1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
156 156  {{/aufgabe}}
157 157  
158 158  {{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}