Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

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Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

@@ -1,1 +1,1 @@
--XWiki.wies
++XWiki.sandravogt

Inhalt

@@ -3,10 +3,8 @@
  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
--== Äquivalenzumformungen ==
--
  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
--Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
++Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
  ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
  ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
@@ -20,53 +20,61 @@
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5"  quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
--Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
++Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
  (%class="abc"%)
--1. Jede Gleichung hat eine Lösung
--1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
--1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
--1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
++1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
++
++1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
++
++1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
++
++1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
++
  {{/aufgabe}}
--== Lösen von Gleichungen ==
--
  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
--Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
++Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
++
  {{/aufgabe}}
++{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
++Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
--{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
--Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
--
  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
--|= Gleichung |= Lösungsmenge
--| 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
--| 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
--| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
--| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
--| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
--| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
--| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
--| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
--| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
++|= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
++| {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
--
++{{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
  Es ist folgende Gleichung gegeben:
  {{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
--Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung immer lösbar ist und gehe auf die Anzahl an Lösungen ein.
++Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für  🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.
++{{/aufgabe}}
++{{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
++Löse die folgenden Aufgaben:
++(%class=abc%)
++1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
++
++1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
++{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
  Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
--{{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
++{{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}.
  ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
  ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
@@ -74,111 +74,115 @@
  ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
  {{/aufgabe}}
--== Bruchgleichungen ==
--
  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
++Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
  |= Bruch |= Definitionsmenge
--| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
--| 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
--| 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
--| 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
--| 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
++| {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
++| {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
++| {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
++| {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
++| {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Finde den Hauptnenner folgender Brüche
--  (%class="123"%)
--
++Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
++(%class="abc"%)
 . {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
++
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--  (%class="123"%)
--Überprüfe, ob der angegebene Wert für x  eine Lösung der Gleichung ist!
--
--1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
--1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
++{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
++Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
++(%class="abc"%)
++1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
--
++1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Definitionsmenge anders dargestellt und auch eine andere Lösungsmenge herausbekommen. Nimm dazu Stellung:
++{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
++Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe:
--{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
--{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
--{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
--{{formula}}12x = 10 {{/formula}}
--{{formula}}x = \frac{12}{10}{{/formula}}
--{{formula}} L = \{\frac{12}{10}\} {{/formula}}
--{{/aufgabe}}
++{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}  mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
--{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Löse unter Angabe der Definitionsmenge folgende Gleichungen:
--  (%class="123"%)
++Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
++
++{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
++
++(%class="abc"%)
++1. Begründe, ob Alex recht hat.
++
++1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
++ {{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
++Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
++(%class="123"%)
 . {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
--1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
++
++1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung genau die Lösung
--   ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
--   ◦ keine bzw.
--   ◦ unendlich viele Lösungen
++Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
++{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
++   ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
++   ◦ keine Lösung
++   ◦ unendlich viele Lösungen
    besitzt.
--     {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
--
  {{/aufgabe}}
--== Formeln ==
--
--{{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
  Um die Jahreszinsen  {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
  {{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
  {{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
  {{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
  (%class="abc"%)
--1. Forme die Formel nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} um.
--1. Wie müsste man die Formel abändern, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden? Gib hierzu eine Formel an.
++1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
++
++1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
++   Gib hierzu eine Formel an.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Die Geschwindigkeit {{formula}} V {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} V = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
--Forme die Formel nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} um.
++Die Geschwindigkeit {{formula}} v {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} v = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
++Bestimme jeweils die nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} umgeformte Formel.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
  Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
  [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
    (%class="abc"%)
--  1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit den Parametern {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
--  1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Stelle diese Formel für {{formula}} A {{/formula}} auf.
--  1. Überprüfe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
--  1. Forme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach der längeren Seite um.
--
++  1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
++  1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
++  1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
++  1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3 K4, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
++{{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
--In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{V}{10}\cdot \frac{V}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} V {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
--In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{V^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} V {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
++In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
++In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
    (%class="abc"%)
 . Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
 . Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
--1. Erläutere, warum sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
++1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
  {{/aufgabe}}
++{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="4" menge="5"/}}
--
--{{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
--

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