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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2026/06/02 11:40
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bearbeitet von Martina Wagner
am 2025/11/27 10:23
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bearbeitet von Sandra Vogt
am 2026/04/30 15:05
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.martinawagner
1 +XWiki.sandravogt
Inhalt
... ... @@ -4,7 +4,7 @@
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5 5  
6 6  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 -Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
7 +Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
8 8  
9 9  ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 10  ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
... ... @@ -18,34 +18,39 @@
18 18  {{/aufgabe}}
19 19  
20 20  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 -Gib, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
21 +Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 22  (%class="abc"%)
23 -1. Jede Gleichung hat eine Lösung
24 -1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
25 -1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
26 -1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
23 +1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24 +
25 +1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26 +
27 +1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28 +
29 +1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
30 +
27 27  {{/aufgabe}}
28 28  
29 29  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
30 -Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
34 +Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
31 31  
32 32  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37 +
33 33  {{/aufgabe}}
34 34  
35 35  {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
36 -Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
41 +Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
37 37  
38 38  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
39 -|= Gleichung |= Lösungsmenge
40 -| 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
41 -| 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
42 -| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
43 -| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
44 -| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
45 -| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
46 -| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
47 -| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
48 -| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
44 +|= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45 +| {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46 +| {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47 +| {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48 +| {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49 +| {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50 +| {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 +| {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 +| {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 +| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
49 49  {{/aufgabe}}
50 50  
51 51  {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
... ... @@ -56,6 +56,14 @@
56 56  Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für 🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.
57 57  {{/aufgabe}}
58 58  
64 +{{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 +Löse die folgenden Aufgaben:
66 +(%class=abc%)
67 +1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68 +
69 +1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
70 +{{/aufgabe}}
71 +
59 59  {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
60 60  
61 61  Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
... ... @@ -68,76 +68,93 @@
68 68  {{/aufgabe}}
69 69  
70 70  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
71 -Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
84 +Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
72 72  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
73 73  |= Bruch |= Definitionsmenge
74 -| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
75 -| 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
76 -| 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
77 -| 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
78 -| 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
87 +| {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
88 +| {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
89 +| {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
90 +| {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
91 +| {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
79 79  {{/aufgabe}}
80 80  
81 81  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
82 -Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
83 - (%class="123"%)
84 -
95 +Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
96 +(%class="abc"%)
85 85  1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
98 +
86 86  1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100 +
87 87  1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
102 +
88 88  1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
104 +
89 89  1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
106 +
90 90  {{/aufgabe}}
91 91  
92 92  {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
93 - (%class="123"%)
94 -Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
95 -
96 -1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
110 +Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
111 +(%class="abc"%)
112 +1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
113 +
97 97  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
98 98  {{/aufgabe}}
99 99  
100 100  {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
101 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
118 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe:
119 +
120 +{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
102 102  
103 -Azra
104 -{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
105 -{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
106 -Alex
107 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
108 -{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
109 -{{/aufgabe}}
122 +Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
110 110  
124 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
125 +
126 +(%class="abc"%)
127 +1. Begründe, ob Alex recht hat.
128 +
129 +1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
130 + {{/aufgabe}}
131 +
111 111  {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
112 -Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
113 - (%class="123"%)
133 +Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
134 +(%class="abc"%)
114 114  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
136 +
115 115  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
116 -1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
138 +
139 +1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
140 +
117 117  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
142 +
118 118  1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
119 119  {{/aufgabe}}
120 120  
121 121  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
122 -Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
123 -{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
147 +Eine unvollständige Bruchgleichung ist gegeben. Ergänze die Lücke jeweils so, dass die Bruchgleichung
124 124  
125 - ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
126 - ◦ keine Lösung
127 - ◦ unendlich viele Lösungen
128 - besitzt.
149 +{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
150 +
151 +(%class="abc"%)
152 +1. {{formula}} x = -0,5 {{/formula}} als einzige Lösung
153 +1. keine Lösung
154 +1. unendlich viele Lösungen
155 +besitzt.
129 129  
130 130  {{/aufgabe}}
131 131  
132 132  {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
133 -Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
134 -{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
135 -{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
136 -{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
160 +Um die Jahreszinsen {{formula}}Z{{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt die folgende Formel:
161 +
162 +{{formula}}Z = \frac{K \cdot p}{100}{{/formula}}
163 +
164 +wobei {{formula}}K{{/formula}}: eingesetztes Kapital in € und {{formula}}p{{/formula}}: Zinssatz
165 +
137 137  (%class="abc"%)
138 -1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
139 -1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
140 - Gib hierzu eine Formel an.
167 +1. Bestimme die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
168 +
169 +1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich, sondern monatlich berechnet werden.
170 +Gib hierzu eine Formel an.
141 141  {{/aufgabe}}
142 142  
143 143  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -148,7 +148,7 @@
148 148  {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
149 149  Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
150 150  [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
151 - (%class="abc"%)
181 +(%class="abc"%)
152 152   1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
153 153   1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
154 154   1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
... ... @@ -159,7 +159,7 @@
159 159  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
160 160  In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
161 161  In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
162 - (%class="abc"%)
192 +(%class="abc"%)
163 163  1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
164 164  1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
165 165  1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.