Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2026/06/02 11:40

Von 68.1 nach 69.1 Von 103.1 nach 104.1

Von Version 69.1

bearbeitet von Martina Wagner
am 2025/11/27 10:26

Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Auf Version 103.1

bearbeitet von Sandra Vogt
am 2026/04/30 15:17

Änderungskommentar: Es gibt keinen Kommentar für diese Version

Rohform
Im Layout

Zusammenfassung

Seiteneigenschaften (2 geändert, 0 hinzugefügt, 0 gelöscht)

Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

@@ -1,1 +1,1 @@
--XWiki.martinawagner
++XWiki.sandravogt

Inhalt

@@ -4,7 +4,7 @@
  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
--Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
++Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
  ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
  ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
@@ -18,34 +18,39 @@
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5"  quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
--Gib, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
++Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
  (%class="abc"%)
--1. Jede Gleichung hat eine Lösung
--1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
--1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
--1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
++1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
++
++1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
++
++1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
++
++1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
++
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
--Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
++Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
++
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
--Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
++Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
--|= Gleichung |= Lösungsmenge
--| 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
--| 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
--| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
--| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
--| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
--| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
--| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
--| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
--| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
++|= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
++| {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
++| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
@@ -57,13 +57,13 @@
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
++Löse die folgenden Aufgaben:
  (%class=abc%)
--1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
--1. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}
++1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
++
++1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
  {{/aufgabe}}
--
--
  {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
  Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
@@ -76,75 +76,95 @@
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
++Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
  |= Bruch |= Definitionsmenge
--| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
--| 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
--| 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
--| 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
--| 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
++| {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
++| {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
++| {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
++| {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
++| {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
--  (%class="123"%)
--
++Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
++(%class="abc"%)
 . {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
++
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--  (%class="123"%)
--Begründe, ob der angegebene Wert für x  eine Lösung der Gleichung ist!
--
--1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
++Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
++(%class="abc"%)
++1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
++Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe:
++
++{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}  mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
--Azra
--{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
--{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
--Alex
--{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
--{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
--{{/aufgabe}}
++Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
++{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
++
++(%class="abc"%)
++1. Begründe, ob Alex recht hat.
++
++1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
++ {{/aufgabe}}
++
  {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
--  (%class="123"%)
++Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
++(%class="abc"%)
 . {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
--1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
++
++1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
++
 . {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
--{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
--   ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
--   ◦ keine Lösung
--   ◦ unendlich viele Lösungen
--  besitzt.
++Eine unvollständige Bruchgleichung ist gegeben. Ergänze die Lücke jeweils so, dass die Bruchgleichung
++{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
++
++(%class="abc"%)
++1. {{formula}} x = -0,5 {{/formula}} als einzige Lösung
++1. keine Lösung
++1. unendlich viele Lösungen
++besitzt.
++
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Um die Jahreszinsen  {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
--{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
--{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
--{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
++Um die Jahreszinsen {{formula}}Z{{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt die folgende Formel:
++
++{{formula}}Z = \frac{K  \cdot  p}{  100  }{{/formula}}
++
++//wobei
++,,{{formula}}K{{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
++{{formula}}p{{/formula}}: Zinssatz//,,
++
  (%class="abc"%)
--1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
--1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
--   Gib hierzu eine Formel an.
++1. Bestimme die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
++
++1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich, sondern monatlich berechnet werden.
++Gib hierzu eine Formel an.
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
@@ -153,20 +153,22 @@
  {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
--Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
--[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
--  (%class="abc"%)
--  1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
--  1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
--  1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
--  1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
--{{/aufgabe}}
++[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}}h{{/formula}} voneinander haben. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}}a{{/formula}}, die kürzere mit {{formula}}c{{/formula}} bezeichnet werden.
++
++(%class="abc"%)
++1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}}a{{/formula}}, {{formula}}c{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}.
++
++1. Zur Berechnung des Flächeninahlts {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes kann man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multiplizieren. Gib die Formel zur Berechnung von {{formula}}A{{/formula}} an.
++
++1. Begründe, ob man die Höhe {{formula}}h{{/formula}} mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
++
++1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite {{formula}}a{{/formula}} umgeformt ist. {{/aufgabe}}
  {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
  In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
  In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
--  (%class="abc"%)
++(%class="abc"%)
 . Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
 . Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
 . Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.

Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zusammenfassung

Details

Hauptnavigation

Suchen

Zuletzt geändert

Wikis

unfertig	fertig
● ● ● ● ● ● ●