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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2026/06/02 11:40
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bearbeitet von Holger Engels
am 2026/02/27 08:40
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bearbeitet von Stephanie Wietzorek
am 2026/06/02 11:40
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.wies
Inhalt
... ... @@ -4,7 +4,7 @@
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5 5  
6 6  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 -Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
7 +Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
8 8  
9 9  ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 10  ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
... ... @@ -20,32 +20,37 @@
20 20  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 21  Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 22  (%class="abc"%)
23 -1. Jede Gleichung hat eine Lösung
24 -1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
25 -1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
26 -1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
23 +1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24 +
25 +1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26 +
27 +1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28 +
29 +1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
30 +
27 27  {{/aufgabe}}
28 28  
29 29  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
30 -Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
34 +Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
31 31  
32 32  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37 +
33 33  {{/aufgabe}}
34 34  
35 35  {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
36 -Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
41 +Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
37 37  
38 38  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
39 -|= Gleichung |= Lösungsmenge
40 -| 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
41 -| 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
42 -| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
43 -| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
44 -| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
45 -| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
46 -| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
47 -| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
48 -| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
44 +|= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45 +| {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46 +| {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47 +| {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48 +| {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49 +| {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50 +| {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 +| {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 +| {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 +| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
49 49  {{/aufgabe}}
50 50  
51 51  {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
... ... @@ -57,9 +57,11 @@
57 57  {{/aufgabe}}
58 58  
59 59  {{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 +Löse die folgenden Aufgaben:
60 60  (%class=abc%)
61 -1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
62 -1. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}
67 +1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68 +
69 +1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 65  {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
... ... @@ -74,75 +74,97 @@
74 74  {{/aufgabe}}
75 75  
76 76  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
77 -Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
84 +Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
78 78  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
79 79  |= Bruch |= Definitionsmenge
80 -| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
81 -| 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
82 -| 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
83 -| 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
84 -| 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
87 +| {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
88 +| {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
89 +| {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
90 +| {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
91 +| {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
85 85  {{/aufgabe}}
86 86  
87 87  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
88 -Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
89 - (%class="123"%)
90 -
95 +Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
96 +(%class="abc"%)
91 91  1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
98 +
92 92  1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100 +
93 93  1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
102 +
94 94  1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
104 +
95 95  1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
106 +
96 96  {{/aufgabe}}
97 97  
98 98  {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
99 - (%class="123"%)
100 -Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
101 -
102 -1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
110 +Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
111 +(%class="abc"%)
112 +1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
113 +
103 103  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
104 104  {{/aufgabe}}
105 105  
106 106  {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
107 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
118 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe:
119 +
120 +{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
108 108  
109 -Azra
110 -{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
111 -{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
112 -Alex
113 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
114 -{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
115 -{{/aufgabe}}
122 +Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
116 116  
124 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
125 +
126 +(%class="abc"%)
127 +1. Begründe, ob Alex recht hat.
128 +
129 +1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
130 + {{/aufgabe}}
131 +
117 117  {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
118 -Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
119 - (%class="123"%)
133 +Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
134 +(%class="abc"%)
120 120  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
136 +
121 121  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
122 -1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
138 +
139 +1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
140 +
123 123  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
142 +
124 124  1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
125 125  {{/aufgabe}}
126 126  
127 127  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
128 -Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
129 -{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
130 - ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
131 - ◦ keine Lösung
132 - ◦ unendlich viele Lösungen
133 - besitzt.
147 +Eine unvollständige Bruchgleichung ist gegeben. Ergänze die Lücke jeweils so, dass die Bruchgleichung
134 134  
149 +{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
150 +
151 +(%class="abc"%)
152 +1. {{formula}} x = -0,5 {{/formula}} als einzige Lösung
153 +1. keine Lösung
154 +1. unendlich viele Lösungen
155 +besitzt.
156 +
135 135  {{/aufgabe}}
136 136  
137 137  {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
138 -Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
139 -{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
140 -{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
141 -{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
160 +Um die Jahreszinsen {{formula}}Z{{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt die folgende Formel:
161 +
162 +{{formula}}Z = \frac{K \cdot p}{ 100 }{{/formula}}
163 +
164 +wobei
165 +{{formula}}K{{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
166 +{{formula}}p{{/formula}}: Zinssatz//,,
167 +
142 142  (%class="abc"%)
143 -1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
144 -1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
145 - Gib hierzu eine Formel an.
169 +1. Bestimme die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
170 +
171 +1. Ermittle eine Formel, mit der man das Kapital nach einem Jahr inkl. Zinsen angeben kann.
172 +
173 +1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich, sondern monatlich berechnet werden.
174 +Gib hierzu eine Formel an.
146 146  {{/aufgabe}}
147 147  
148 148  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -151,20 +151,22 @@
151 151  {{/aufgabe}}
152 152  
153 153  {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
154 -Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
155 -[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
156 - (%class="abc"%)
157 - 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
158 - 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
159 - 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
160 - 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
161 -{{/aufgabe}}
183 +[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}}h{{/formula}} voneinander haben. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}}a{{/formula}}, die kürzere mit {{formula}}c{{/formula}} bezeichnet werden.
184 +
185 +(%class="abc"%)
186 +1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}}a{{/formula}}, {{formula}}c{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}.
187 +
188 +1. Zur Berechnung des Flächeninahlts {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes kann man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multiplizieren. Gib die Formel zur Berechnung von {{formula}}A{{/formula}} an.
189 +
190 +1. Begründe, ob man die Höhe {{formula}}h{{/formula}} mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
191 +
192 +1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite {{formula}}a{{/formula}} umgeformt ist. {{/aufgabe}}
162 162  
163 163  {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
164 164  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
165 165  In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
166 166  In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
167 - (%class="abc"%)
198 +(%class="abc"%)
168 168  1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
169 169  1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
170 170  1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.