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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2026/06/02 11:40
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am 2026/04/30 15:17
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Inhalt
... ... @@ -20,36 +20,37 @@
20 20  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 21  Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
22 22  (%class="abc"%)
23 -1. Jede Gleichung hat eine Lösung
23 +1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24 24  
25 -1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
25 +1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26 26  
27 -1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
27 +1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28 28  
29 -1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
29 +1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
30 30  
31 31  {{/aufgabe}}
32 32  
33 33  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34 -Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
34 +Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
35 35  
36 36  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37 +
37 37  {{/aufgabe}}
38 38  
39 39  {{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
40 -Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
41 +Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
41 41  
42 42  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
43 -|= Gleichung |= Lösungsmenge
44 -| 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
45 -| 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
46 -| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
47 -| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
48 -| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
49 -| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
50 -| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
51 -| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
52 -| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
44 +|= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45 +| {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46 +| {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47 +| {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48 +| {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49 +| {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50 +| {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 +| {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 +| {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 +| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
53 53  {{/aufgabe}}
54 54  
55 55  {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
... ... @@ -61,9 +61,11 @@
61 61  {{/aufgabe}}
62 62  
63 63  {{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 +Löse die folgenden Aufgaben:
64 64  (%class=abc%)
65 -1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
66 -1. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}
67 +1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68 +
69 +1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
67 67  {{/aufgabe}}
68 68  
69 69  {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
... ... @@ -78,75 +78,95 @@
78 78  {{/aufgabe}}
79 79  
80 80  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
81 -Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
84 +Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
82 82  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
83 83  |= Bruch |= Definitionsmenge
84 -| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
85 -| 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
86 -| 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
87 -| 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
88 -| 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
87 +| {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
88 +| {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
89 +| {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
90 +| {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
91 +| {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
89 89  {{/aufgabe}}
90 90  
91 91  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
92 -Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
93 - (%class="123"%)
94 -
95 +Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
96 +(%class="abc"%)
95 95  1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
98 +
96 96  1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100 +
97 97  1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
102 +
98 98  1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
104 +
99 99  1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
106 +
100 100  {{/aufgabe}}
101 101  
102 102  {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
103 - (%class="123"%)
104 -Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
105 -
106 -1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
110 +Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
111 +(%class="abc"%)
112 +1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
113 +
107 107  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
108 108  {{/aufgabe}}
109 109  
110 110  {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
111 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
118 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe:
119 +
120 +{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
112 112  
113 -Azra
114 -{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
115 -{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
116 -Alex
117 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
118 -{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
119 -{{/aufgabe}}
122 +Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
120 120  
124 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
125 +
126 +(%class="abc"%)
127 +1. Begründe, ob Alex recht hat.
128 +
129 +1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
130 + {{/aufgabe}}
131 +
121 121  {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
122 -Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
123 - (%class="123"%)
133 +Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
134 +(%class="abc"%)
124 124  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
136 +
125 125  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
126 -1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
138 +
139 +1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
140 +
127 127  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
142 +
128 128  1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
129 129  {{/aufgabe}}
130 130  
131 131  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
132 -Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
133 -{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
134 - ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
135 - ◦ keine Lösung
136 - ◦ unendlich viele Lösungen
137 - besitzt.
147 +Eine unvollständige Bruchgleichung ist gegeben. Ergänze die Lücke jeweils so, dass die Bruchgleichung
138 138  
149 +{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
150 +
151 +(%class="abc"%)
152 +1. {{formula}} x = -0,5 {{/formula}} als einzige Lösung
153 +1. keine Lösung
154 +1. unendlich viele Lösungen
155 +besitzt.
156 +
139 139  {{/aufgabe}}
140 140  
141 141  {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
142 -Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
143 -{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
144 -{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
145 -{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
160 +Um die Jahreszinsen {{formula}}Z{{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt die folgende Formel:
161 +
162 +{{formula}}Z = \frac{K \cdot p}{ 100 }{{/formula}}
163 +
164 +//wobei
165 +,,{{formula}}K{{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
166 +{{formula}}p{{/formula}}: Zinssatz//,,
167 +
146 146  (%class="abc"%)
147 -1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
148 -1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
149 - Gib hierzu eine Formel an.
169 +1. Bestimme die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
170 +
171 +1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich, sondern monatlich berechnet werden.
172 +Gib hierzu eine Formel an.
150 150  {{/aufgabe}}
151 151  
152 152  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -155,20 +155,22 @@
155 155  {{/aufgabe}}
156 156  
157 157  {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
158 -Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
159 -[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
160 - (%class="abc"%)
161 - 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
162 - 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
163 - 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
164 - 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
165 -{{/aufgabe}}
181 +[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}}h{{/formula}} voneinander haben. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}}a{{/formula}}, die kürzere mit {{formula}}c{{/formula}} bezeichnet werden.
182 +
183 +(%class="abc"%)
184 +1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}}a{{/formula}}, {{formula}}c{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}.
185 +
186 +1. Zur Berechnung des Flächeninahlts {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes kann man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multiplizieren. Gib die Formel zur Berechnung von {{formula}}A{{/formula}} an.
187 +
188 +1. Begründe, ob man die Höhe {{formula}}h{{/formula}} mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
189 +
190 +1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite {{formula}}a{{/formula}} umgeformt ist. {{/aufgabe}}
166 166  
167 167  {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
168 168  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
169 169  In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
170 170  In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
171 - (%class="abc"%)
196 +(%class="abc"%)
172 172  1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
173 173  1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
174 174  1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.