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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2026/06/02 11:40
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am 2026/04/30 14:27
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am 2026/06/02 11:40
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.sandravogt
1 +XWiki.wies
Inhalt
... ... @@ -50,8 +50,7 @@
50 50  | {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 51  | {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 52  | {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 -| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
54 -
53 +| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
55 55  {{/aufgabe}}
56 56  
57 57  {{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
... ... @@ -63,9 +63,11 @@
63 63  {{/aufgabe}}
64 64  
65 65  {{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 +Löse die folgenden Aufgaben:
66 66  (%class=abc%)
67 -1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50€ pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Personen die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat?
68 -1. Ermittle die Lösung grafisch und rechnerisch {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}
67 +1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68 +
69 +1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
69 69  {{/aufgabe}}
70 70  
71 71  {{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
... ... @@ -80,75 +80,97 @@
80 80  {{/aufgabe}}
81 81  
82 82  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
83 -Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
84 +Gib jeweils die Defintionsmenge 𝔻 der Brüche an.
84 84  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
85 85  |= Bruch |= Definitionsmenge
86 -| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
87 -| 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
88 -| 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
89 -| 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
90 -| 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
87 +| {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | 𝔻 =
88 +| {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | 𝔻 =
89 +| {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | 𝔻 =
90 +| {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | 𝔻 =
91 +| {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | 𝔻 =
91 91  {{/aufgabe}}
92 92  
93 93  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
94 -Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
95 - (%class="123"%)
96 -
95 +Bestimme jeweils den Hauptnenner der folgenden Terme:
96 +(%class="abc"%)
97 97  1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
98 +
98 98  1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100 +
99 99  1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
102 +
100 100  1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
104 +
101 101  1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
106 +
102 102  {{/aufgabe}}
103 103  
104 104  {{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
105 - (%class="123"%)
106 -Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
107 -
108 -1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
110 +Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist.
111 +(%class="abc"%)
112 +1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
113 +
109 109  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
110 110  {{/aufgabe}}
111 111  
112 112  {{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
113 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
118 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe:
119 +
120 +{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
114 114  
115 -Azra
116 -{{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
117 -{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
118 -Alex
119 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
120 -{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
121 -{{/aufgabe}}
122 +Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen:
122 122  
124 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}} mit {{formula}} 𝔻 = \mathbb{R}{{/formula}}
125 +
126 +(%class="abc"%)
127 +1. Begründe, ob Alex recht hat.
128 +
129 +1. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
130 + {{/aufgabe}}
131 +
123 123  {{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
124 -Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
125 - (%class="123"%)
133 +Gib die Definitionsmenge 𝔻 folgender Gleichungen an. Berechne anschließend die Lösungsmenge 𝕃 jeder Gleichung.
134 +(%class="abc"%)
126 126  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
136 +
127 127  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
128 -1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
138 +
139 +1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
140 +
129 129  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
142 +
130 130  1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
131 131  {{/aufgabe}}
132 132  
133 133  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
134 -Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
135 -{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
136 - ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
137 - ◦ keine Lösung
138 - ◦ unendlich viele Lösungen
139 - besitzt.
147 +Eine unvollständige Bruchgleichung ist gegeben. Ergänze die Lücke jeweils so, dass die Bruchgleichung
140 140  
149 +{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
150 +
151 +(%class="abc"%)
152 +1. {{formula}} x = -0,5 {{/formula}} als einzige Lösung
153 +1. keine Lösung
154 +1. unendlich viele Lösungen
155 +besitzt.
156 +
141 141  {{/aufgabe}}
142 142  
143 143  {{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
144 -Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
145 -{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
146 -{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
147 -{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
160 +Um die Jahreszinsen {{formula}}Z{{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt die folgende Formel:
161 +
162 +{{formula}}Z = \frac{K \cdot p}{ 100 }{{/formula}}
163 +
164 +wobei
165 +{{formula}}K{{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
166 +{{formula}}p{{/formula}}: Zinssatz//,,
167 +
148 148  (%class="abc"%)
149 -1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
150 -1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
151 - Gib hierzu eine Formel an.
169 +1. Bestimme die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
170 +
171 +1. Ermittle eine Formel, mit der man das Kapital nach einem Jahr inkl. Zinsen angeben kann.
172 +
173 +1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich, sondern monatlich berechnet werden.
174 +Gib hierzu eine Formel an.
152 152  {{/aufgabe}}
153 153  
154 154  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
... ... @@ -157,20 +157,22 @@
157 157  {{/aufgabe}}
158 158  
159 159  {{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
160 -Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
161 -[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
162 - (%class="abc"%)
163 - 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
164 - 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
165 - 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
166 - 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
167 -{{/aufgabe}}
183 +[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}}h{{/formula}} voneinander haben. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}}a{{/formula}}, die kürzere mit {{formula}}c{{/formula}} bezeichnet werden.
184 +
185 +(%class="abc"%)
186 +1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}}a{{/formula}}, {{formula}}c{{/formula}} und {{formula}}h{{/formula}}.
187 +
188 +1. Zur Berechnung des Flächeninahlts {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes kann man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multiplizieren. Gib die Formel zur Berechnung von {{formula}}A{{/formula}} an.
189 +
190 +1. Begründe, ob man die Höhe {{formula}}h{{/formula}} mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
191 +
192 +1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt {{formula}}A{{/formula}} des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite {{formula}}a{{/formula}} umgeformt ist. {{/aufgabe}}
168 168  
169 169  {{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
170 170  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
171 171  In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
172 172  In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
173 - (%class="abc"%)
198 +(%class="abc"%)
174 174  1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
175 175  1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
176 176  1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.