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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2026/06/02 11:40
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am 2026/04/30 14:30
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am 2025/11/17 14:22
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.sandravogt
1 +XWiki.wies
Inhalt
... ... @@ -3,8 +3,10 @@
3 3  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5 5  
6 +== Äquivalenzumformungen ==
7 +
6 6  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 -Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
9 +Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
8 8  
9 9  ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 10  ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
... ... @@ -18,61 +18,43 @@
18 18  {{/aufgabe}}
19 19  
20 20  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 -Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
23 +Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
22 22  (%class="abc"%)
23 -1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24 -
25 -1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26 -
27 -1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28 -
29 -1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
30 -
25 +1. Jede Gleichung hat eine Lösung
26 +1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
27 +1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
28 +1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
31 31  {{/aufgabe}}
32 32  
31 +== Lösen von Gleichungen ==
32 +
33 33  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34 -Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
34 +Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
35 35  
36 36  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37 -
38 38  {{/aufgabe}}
39 39  
40 -{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 -Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
42 42  
40 +{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 +Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
42 +
43 43  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
44 -|= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45 -| {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46 -| {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47 -| {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48 -| {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49 -| {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50 -| {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 -| {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 -| {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 -| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
44 +|= Gleichung |= Lösungsmenge
45 +| 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
46 +| 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
47 +| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
48 +| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
49 +| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
50 +| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
51 +| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
52 +| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
53 +| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
54 54  {{/aufgabe}}
55 55  
56 -{{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
57 -Es ist folgende Gleichung gegeben:
56 +{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
58 58  
59 -{{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
60 -
61 -Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für 🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.
62 -{{/aufgabe}}
63 -
64 -{{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 -Löse die folgenden Aufgaben:
66 -(%class=abc%)
67 -1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68 -
69 -1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
70 -{{/aufgabe}}
71 -
72 -{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
73 -
74 74  Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
75 -{{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}.
59 +{{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
76 76  
77 77  ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
78 78  ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
... ... @@ -80,11 +80,13 @@
80 80  ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
81 81  {{/aufgabe}}
82 82  
67 +== Bruchgleichungen ==
68 +
83 83  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
84 84  Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
85 85  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
86 86  |= Bruch |= Definitionsmenge
87 -| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
73 +| 1) {{formula}}\frac{2}{x}{{/formula}} | D =
88 88  | 2) {{formula}}\frac{x}{2}{{/formula}} | D =
89 89  | 3) {{formula}}\frac{3+x}{x-2}{{/formula}} | D =
90 90  | 4) {{formula}}\frac{4}{3x}-\frac{2x+1}{3x-1}{{/formula}} | D =
... ... @@ -91,91 +91,37 @@
91 91  | 5) {{formula}}\frac{3-x}{2(x-5)}{{/formula}} | D =
92 92  {{/aufgabe}}
93 93  
94 -{{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
95 -Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
80 +{{aufgabe id="Hauptnenner" afb="I, II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
81 +Finde den Hauptnenner folgender Brüche
96 96   (%class="123"%)
97 97  
98 -1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
99 -1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
100 -1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
101 -1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
102 -1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
84 + 1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
85 + 1. {{formula}}\frac{x}{5x+2}; \frac{1}{10x+4} {{/formula}}
86 + 1. {{formula}}\frac{4}{x-1}; \frac{2}{x+1} {{/formula}}
87 + 1. {{formula}}\frac{1}{x-2}; \frac{x}{x^2-4x+4} {{/formula}}
88 + 1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
103 103  {{/aufgabe}}
104 104  
105 -{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
91 +{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="I, II, III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
106 106   (%class="123"%)
107 -Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
93 +Überprüfe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
108 108  
109 109  1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
110 110  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
97 +
98 +
111 111  {{/aufgabe}}
112 112  
113 -{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
114 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
115 -
116 -Azra
101 +{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="I, II, III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
102 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Definitionsmenge anders dargestellt und auch eine andere Lösungsmenge herausbekommen. Nimm dazu Stellung:
103 +
117 117  {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
118 -{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
119 -Alex
120 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
121 -{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
105 +{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
106 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
107 +{{formula}}12x = 10 {{/formula}}
108 +{{formula}}x = \frac{12}{10}{{/formula}}
109 +{{formula}} L = \{\frac{12}{10}\} {{/formula}}
122 122  {{/aufgabe}}
123 123  
124 -{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
125 -Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
126 - (%class="123"%)
127 -1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
128 -1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
129 -1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5}{x-1} {{/formula}}
130 -1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=\frac{5x}{x-1}-\frac{5x^2}{x^2-1} {{/formula}}
131 -1. {{formula}}\frac{10}{2x+2}=\frac{5}{x+1}-1 {{/formula}}
132 -{{/aufgabe}}
112 +{{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
133 133  
134 -{{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
135 -Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
136 -{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
137 - ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
138 - ◦ keine Lösung
139 - ◦ unendlich viele Lösungen
140 - besitzt.
141 -
142 -{{/aufgabe}}
143 -
144 -{{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
145 -Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
146 -{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
147 -{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
148 -{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
149 -(%class="abc"%)
150 -1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
151 -1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
152 - Gib hierzu eine Formel an.
153 -{{/aufgabe}}
154 -
155 -{{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
156 -Die Geschwindigkeit {{formula}} v {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} v = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
157 -Bestimme jeweils die nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} umgeformte Formel.
158 -{{/aufgabe}}
159 -
160 -{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
161 -Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
162 -[[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
163 - (%class="abc"%)
164 - 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
165 - 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
166 - 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
167 - 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
168 -{{/aufgabe}}
169 -
170 -{{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
171 -Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
172 -In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
173 -In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
174 - (%class="abc"%)
175 -1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
176 -1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
177 -1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
178 -{{/aufgabe}}
179 -
180 -{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="4" menge="5"/}}
181 -
Trapez.ggb
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.wies
Größe
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Inhalt
Trapez.png
Author
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -XWiki.wies
Größe
... ... @@ -1,1 +1,0 @@
1 -194.0 KB
Inhalt