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Änderungen von Dokument BPE 2.1 Äquivalenzumformungen

Zuletzt geändert von Stephanie Wietzorek am 2026/06/02 11:40
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am 2026/04/30 14:30
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bearbeitet von Stephanie Wietzorek
am 2025/11/18 08:58
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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.sandravogt
1 +XWiki.wies
Inhalt
... ... @@ -3,8 +3,10 @@
3 3  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann mithilfe von Äquivalenzumformungen die Lösung von linearen Gleichungen und Bruchgleichungen, die auf lineare Gleichungen zurückzuführen sind, berechnen.
4 4  [[Kompetenzen.K5]] Ich kann die Äquivalenzumformungen für das Umstellen von Formeln und linearen Ungleichungen anwenden.
5 5  
6 +== Äquivalenzumformungen ==
7 +
6 6  {{aufgabe id="Äquivalenzumformungen" afb="I" kompetenzen="K5" Zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
7 -Kreuze dort an, welches korrekte Äquivalenzumformungen sind:
9 +Gib an, was korrekte Äquivalenzumformungen sind!
8 8  
9 9  ☐ Addieren einer Zahl auf beiden Seiten
10 10  ☐ Subtrahieren einer Zahl auf beiden Seiten
... ... @@ -18,61 +18,53 @@
18 18  {{/aufgabe}}
19 19  
20 20  {{aufgabe id="Aussagen" afb="I" kompetenzen="K1, K5, K6" Zeit="5" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
21 -Gib an, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind. Begründe deine Entscheidung.
23 +Begründe, ob die folgenden Aussagen wahr oder falsch sind.
22 22  (%class="abc"%)
23 -1. Jede Gleichung hat eine Lösung.
24 -
25 -1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen.
26 -
27 -1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung.
28 -
29 -1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}.
30 -
25 +1. Jede Gleichung hat eine Lösung
26 +1. Die Lösungsmenge enthält all jene Elemente, die zu einer wahren Aussage führen
27 +1. {{formula}}2=0{{/formula}} ist eine Gleichung
28 +1. Aus {{formula}}x=0{{/formula}} folgt {{formula}}L= \{\} {{/formula}}
31 31  {{/aufgabe}}
32 32  
31 +== Lösen von Gleichungen ==
32 +
33 33  {{aufgabe id="Prüfen der Lösung" afb="I" kompetenzen="K5" zeit="2" quelle="[[KMap>>https://kmap.eu/app/browser/Mathematik/Gleichungen/Allgemeines]]" cc="BY-SA"}}
34 -Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist.
34 +Prüfe, ob {{formula}}x=0{{/formula}} oder {{formula}}x=1{{/formula}} eine Lösung der Gleichung ist!
35 35  
36 36  {{formula}} 3(4x+4)=4(3-4x) {{/formula}}
37 -
38 38  {{/aufgabe}}
39 39  
40 -{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K5" zeit="17" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 -Bestimme die Lösungsmenge 𝕃 der folgenden Gleichungen.
42 42  
40 +{{aufgabe id="Lösen von linearen Gleichungen" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
41 +Bestimme die Lösungsmenge der folgenden Gleichungen.
42 +
43 43  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
44 -|= Gleichung |= Lösungsmenge 𝕃
45 -| {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | 𝕃 =
46 -| {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | 𝕃 =
47 -| {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | 𝕃 =
48 -| {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | 𝕃 =
49 -| {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | 𝕃 =
50 -| {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | 𝕃 =
51 -| {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | 𝕃 =
52 -| {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | 𝕃 =
53 -| {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | 𝕃 =
44 +|= Gleichung |= Lösungsmenge
45 +| 1) {{formula}}2x - 13 + 6x = 5x + 8{{/formula}} | L =
46 +| 2) {{formula}}7,3y + 5 - 2,5y - 2,8 = 6,5y - 3,2 - 1,7y + 5,4{{/formula}} | L =
47 +| 3) {{formula}}-0,5 (3(a+2) - 5(a-2)) = a - 4{{/formula}} | L =
48 +| 4) {{formula}}-(-4x) + 16x = -5x + 5{{/formula}} | L =
49 +| 5) {{formula}}-3a + 1,25 = -1 - a{{/formula}} | L =
50 +| 6) {{formula}}2(0,5x + 1,5) + 0,5x = 10,5{{/formula}} | L =
51 +| 7) {{formula}}0,2 (y-2) - 3 = -1,5y{{/formula}} | L =
52 +| 8) {{formula}}\frac{1}{3}(x - 2) = \frac{1}{2}x{{/formula}} | L =
53 +| 9) {{formula}}3 + \frac{1}{2}b + \frac{1}{3}b - 2b = 4 + \frac{1}{6}b{{/formula}} | L =
54 54  {{/aufgabe}}
55 55  
56 -{{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
56 +{{aufgabe id="Lösungsvielfalt" afb="III" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" kompetenzen="K1, K2, K4, K5, K6" zeit="6" cc="by-sa"}}
57 +
57 57  Es ist folgende Gleichung gegeben:
58 58  
59 59  {{formula}} x \cdot (2x - 🖤)=2x^2 + 3x {{/formula}}
60 60  
61 -Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung für jede Zahl, die für 🖤 eingesetzt wird, lösbar ist. Untersuche die Anzahl an Lösungen.
62 -{{/aufgabe}}
62 +Für 🖤 darf eine beliebige reelle Zahl eingesetzt werden. Begründe, dass die Gleichung immer lösbar ist und gehe auf die Anzahl an Lösungen ein.
63 63  
64 -{{aufgabe id="Ungleichungen lösen" afb="II" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K5" zeit="7" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
65 -Löse die folgenden Aufgaben:
66 -(%class=abc%)
67 -1. Peter sammelt für die Klassenkasse Geld ein. Zu Beginn hat er 3 €. Anschließend sammelt er 1,50 € pro Person ein. Berechne, aus wie vielen Schülerinnen und Schülern die Klasse mindestens besteht, wenn er am Ende mehr als 35 € in der Klassenkasse hat.
68 -
69 -1. Gegeben ist die Ungleichung {{formula}}-2x+3<5{{/formula}}. Ermittle die Lösung einmal grafisch und einmal rechnerisch.
70 70  {{/aufgabe}}
71 71  
72 -{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="2" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
66 +{{aufgabe id="Richtig oder falsch?" afb="I" quelle="Team Mathebrücke" kompetenzen="K1, K6" zeit="" cc="by-sa" tags="mathebrücke"}}
73 73  
74 74  Gib an, welche der folgenden Aussagen wahr sind. Begründe deine Entscheidung.
75 -{{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}.
69 +{{formula}}\frac{x}{y} = \frac{1}{4}{{/formula}}. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
76 76  
77 77  ☐ {{formula}}x{{/formula}} muss 1 sein, weil im Bruch auf der rechten Seite der Gleichung 1 im Zähler steht.
78 78  ☐ {{formula}}y{{/formula}} ist das Vierfache von {{formula}}x{{/formula}}, weil es auf der rechten Seite der Gleichung auch so ist.
... ... @@ -80,6 +80,8 @@
80 80  ☐ {{formula}}y{{/formula}} darf auf keinen Fall den Wert Null annehmen.
81 81  {{/aufgabe}}
82 82  
77 +== Bruchgleichungen ==
78 +
83 83  {{aufgabe id="Definitionsmenge" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
84 84  Gib die Defintionsmenge der Brüche an.
85 85  (% style="width: 100%; white-space: nowrap" class="border" %)
... ... @@ -92,7 +92,7 @@
92 92  {{/aufgabe}}
93 93  
94 94  {{aufgabe id="Hauptnenner" afb="II" kompetenzen="K2, K5" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
95 -Bestimme den Hauptnenner der folgenden Terme
91 +Finde den Hauptnenner folgender Brüche
96 96   (%class="123"%)
97 97  
98 98  1. {{formula}}\frac{1}{x}; \frac{2}{x-4} {{/formula}}
... ... @@ -102,27 +102,29 @@
102 102  1. {{formula}}\frac{1}{b-7}; \frac{1}{7-b} {{/formula}}
103 103  {{/aufgabe}}
104 104  
105 -{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
101 +{{aufgabe id="Überprüfen der Lösung" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="7" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
106 106   (%class="123"%)
107 -Begründe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
103 +Überprüfe, ob der angegebene Wert für x eine Lösung der Gleichung ist!
108 108  
109 109  1. {{formula}}\frac{1}{5x+2}=1 \quad , x=-\frac{1}{5} {{/formula}}
110 110  1. {{formula}}\frac{x+1}{2x-5}=3 \quad , x=\frac{5}{2} {{/formula}}
107 +
108 +
111 111  {{/aufgabe}}
112 112  
113 -{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
114 -Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Gleichung anders dargestellt und auch eine andere Definitionsmenge herausbekommen. Begründe, ob Alex recht hat. Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung.
115 -
116 -Azra
111 +{{aufgabe id="Rechenschritte" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K6" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
112 +Azra zeigt im Unterricht ihre Hausaufgabe. Daraufhin meldet sich Alex und meint, er hätte die Definitionsmenge anders dargestellt und auch eine andere Lösungsmenge herausbekommen. Nimm dazu Stellung:
113 +
117 117  {{formula}}\frac{1}{4x-3}=3 {{/formula}}
118 -{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
119 -Alex
120 -{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
121 -{{formula}} D = \mathbb{R}{{/formula}}
115 +{{formula}} D = \{\frac{3}{4}\}{{/formula}}
116 +{{formula}} 1 = 12x - 9 {{/formula}}
117 +{{formula}}12x = 10 {{/formula}}
118 +{{formula}}x = \frac{12}{10}{{/formula}}
119 +{{formula}} L = \{\frac{12}{10}\} {{/formula}}
122 122  {{/aufgabe}}
123 123  
124 -{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
125 -Gib die Definitionsmenge folgender Gleichungen an. Berechne die Lösung bder Gleichung.
122 +{{aufgabe id="Bruchgleichungen" afb="I, II" kompetenzen="K2, K4, K5" zeit="12" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
123 +Löse unter Angabe der Definitionsmenge folgende Gleichungen:
126 126   (%class="123"%)
127 127  1. {{formula}}\frac{10}{x}=5 {{/formula}}
128 128  1. {{formula}}\frac{10}{x+1}=5 {{/formula}}
... ... @@ -132,50 +132,43 @@
132 132  {{/aufgabe}}
133 133  
134 134  {{aufgabe id="Bruchgleichungen ergänzen" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K3, K4, K5" zeit="15" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
135 -Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung
136 -{{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}} genau die Lösung
137 - ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
138 - ◦ keine Lösung
139 - ◦ unendlich viele Lösungen
133 +Es ist eine unvollständige Bruchgleichung gegeben. Ergänze die Lücke so, dass die Bruchgleichung genau die Lösung
134 + ◦ {{formula}} x = -0,5 {{/formula}}
135 + ◦ keine bzw.
136 + ◦ unendlich viele Lösungen
140 140   besitzt.
141 141  
139 + {{formula}} \frac{3x + ☐}{x+1}=1{{/formula}}
140 +
142 142  {{/aufgabe}}
143 143  
144 -{{aufgabe id="Zinsen" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="5" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
145 -Um die Jahreszinsen {{formula}} Z {{/formula}} (in €) zu berechnen, gilt folgende Formel:
146 -{{formula}} Z = \frac{K \cdot p}{100} {{/formula}}
147 -{{formula}} K {{/formula}}: eingesetztes Kapital in €
148 -{{formula}} \frac{p}{100}{{/formula}}: Zinssatz
149 -(%class="abc"%)
150 -1. Bestimme, die jeweils nach {{formula}}p{{/formula}} und {{formula}}K{{/formula}} umgeformte Formel.
151 -1. Begründe, wie man die Formel abändern müsste, wenn die Zinsen nicht jährlich sondern monatlich berechnet werden?
152 - Gib hierzu eine Formel an.
153 -{{/aufgabe}}
143 +== Formeln ==
154 154  
155 155  {{aufgabe id="Geschwindigkeit" afb="I" kompetenzen="K2, K5" zeit="3" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
156 -Die Geschwindigkeit {{formula}} v {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} v = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
157 -Bestimme jeweils die nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} umgeformte Formel.
146 +Die Geschwindigkeit {{formula}} V {{/formula}} kann mit der Formel {{formula}} V = \frac{s}{t} {{/formula}} berechnet werden, wobei {{formula}} s {{/formula}} die zurückgelegte Strecke und {{formula}} t {{/formula}} die vergangene Zeit ist.
147 +Forme die Formel nach {{formula}} s {{/formula}} und {{formula}} t {{/formula}} um.
158 158  {{/aufgabe}}
159 159  
160 -{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K4, K5" zeit="10" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
150 +{{aufgabe id="Trapez" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
161 161  Ein Trapez ist ein besonderes Viereck mit zwei parallelen Seiten, welche den Abstand {{formula}} h{{/formula}} voneinander besitzen. Die längere der parallelen Seiten soll mit {{formula}} a {{/formula}}, die kürzere mit {{formula}} c {{/formula}} bezeichnet werden.
162 162  [[image:Trapez.png||style="float:right;width:400px"]]
163 163   (%class="abc"%)
164 - 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
165 - 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Gib diese Formel für {{formula}} A {{/formula}}an.
166 - 1. Begründe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
167 - 1. Bestimme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen so, dass diese nach der längeren Seite umgeformt ist.
154 + 1. Beschrifte das Trapez gemäß der obigen Angaben mit den Parametern {{formula}} a {{/formula}},{{formula}} c {{/formula}} und{{formula}} h {{/formula}}.
155 + 1. Der Flächeninahlt {{formula}} A {{/formula}} des Trapezes kann berechnet werden, indem man die Hälfte der Summe aus den beiden parallelen Seiten mit dem Abstand der beiden parallelen Seiten multipliziert. Stelle diese Formel für {{formula}} A {{/formula}} auf.
156 + 1. Überprüfe, ob man die Höhe h mit der Formel {{formula}} 2 \cdot \frac{A}{a+c} {{/formula}} berechnen kann.
157 + 1. Forme die Formel für den Flächeninhalt des Trapezes mit Hilfe von Äquivalenzumformungen nach der längeren Seite um.
158 +
168 168  {{/aufgabe}}
169 169  
170 -{{aufgabe id="Bremsweg" afb="III" kompetenzen="K1, K2, K5" zeit="18" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
161 +{{aufgabe id="Bremsweg" afb="II" kompetenzen="K1, K2, K4, K5" zeit="" quelle="Simone Kanzler, Stephanie Wietzorek" cc="BY-SA"}}
171 171  Der Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} in Metern ist die Strecke, die ein Fahrzeug nach dem Betätigen der Bremse noch zurücklegt, bis es vollständig zum Stehen kommt.
172 -In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{v}{10}\cdot \frac{v}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} v {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
173 -In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{v^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} v {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
163 +In der Fahrschule lernt man die vereinfachte Formel {{formula}} s = \frac{V}{10}\cdot \frac{V}{10} {{/formula}}, wobei {{formula}} V {{/formula}} die Geschwindigkeit zum Bremszeitpunkt in {{formula}} \frac{km}{h} {{/formula}} beschreibt.
164 +In der Physik würde man den Bremsweg {{formula}} s {{/formula}} mit der Formel {{formula}} s = \frac{V^2}{2a} {{/formula}} berechnen, wobei {{formula}} V {{/formula}} in {{formula}} \frac{m}{s} {{/formula}} angegeben wird und {{formula}} a {{/formula}} eine Bremsverzögerung beschreibt. Diese Bremsverzögerung liegt bei einer Alltagsbremsung bei {{formula}} 3 < a < 5 {{/formula}}.
174 174   (%class="abc"%)
175 175  1. Berechne den Bremsweg in Metern mit der Formel aus der Fahrschule für eine Geschwindigkeit von {{formula}} 50 \frac{km}{h}{{/formula}} zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs.
176 176  1. Berechne den Bremsweg mit der Formel aus der Physik für die selbe Geschwindigkeit zum Zeitpunkt des Bremsvorgangs für {{formula}} a = 4 {{/formula}}
177 -1. Zeige, dass sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
168 +1. Erläutere, warum sich die Formel aus der Fahrschule zur vereinfachten Rechnung für eine Alltagsbremsung eignet.
178 178  {{/aufgabe}}
179 179  
180 -{{seitenreflexion bildungsplan="4" kompetenzen="4" anforderungsbereiche="4" kriterien="4" menge="5"/}}
171 +{{seitenreflexion bildungsplan="" kompetenzen="" anforderungsbereiche="" kriterien="" menge=""/}}
181 181