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Lösung Gleichungssystem - effektiv gelöst

Zuletzt geändert von akukin am 2025/10/27 17:37

  1. Gleichsetzungsverfahren
    \(\begin{align*} 3x-7&=-x+5 &&\mid+x \mid+7 \\ 4x &=12 &&\mid :4 \\ x&=3 \\ x \ \text{in} \ y=-x+5 \ \text{einsetzen:} \\ y&=-3+5\\ y&=2 \end{align*}\)

    Lösungsmenge: \(\text{L}=\{3;2\}\)

  2. Einsetzungsverfahren
    \(\begin{align*} 3x+2\cdot\left(-\frac{1}{2}x-2\right) &=2 \\ 3x-x-4 &= 2\\ 2x-4 &= 2\\ 2x &= 6 \\ x&= 3 \\ x \ \text{in} \ -\frac{1}{2}x-2=y \ \text{einsetzen:} \\ -\frac{1}{2}\cdot 3-2&=y \\ -3,\!5 &= y \end{align*}\) 

    Lösungsmenge: \(\text{L}=\{3;-3,\!5\}\)

  3. Additionsverfahren
    Wir bringen die rechte Seite beider Gleichungen auf \(9\) und erhalten
    \(\begin{align*} \frac{3}{2}y+3x &=\frac{9}{2} &&\mid \cdot 2 \\ \text{(I)} \quad 3y+6x&=9 \end{align*}\)
    und
    \(\begin{align*} 2,\!5y+3x &=\frac{9}{2} &&\mid \cdot 2 \\ \text{(II)} \quad 5y+6x&=9 \end{align*}\)

    \(\text{(I)}-\text{(II)}\) ergibt:
    \(\begin{align*} -2y &=0\\ y&=0 \\ y \ \text{in} \ 5y+6x=9 \ \text{einsetzen:} \\ 6x&=9 &&\mid :6 \\ x&=\frac{3}{2} \end{align*}\)

    Lösungsmenge: \(\text{L}=\left\{\frac{3}{2};0\right\}\)