Da die beiden Gleichungen bereits nach \(y\) aufgelöst sind, bietet sich das Gleichsetzungsverfahren an. Das heißt, wir setzen die beiden Gleichungen gleich und lösen dann nach \(x\) auf:
\[\begin{align} &3x-7=-x+5 &&\mid +x \ \mid +7\\ &4x=12 &&\mid :4 \\ &x=3 \end{align}\]Nun setzen wir \(x=3\) in eine der ursprünglichen Gleichungen (zum Beispiel in die zweite) ein und erhalten für \(y\): \(y=-3+5=2\).
Die Lösung ist somit \(x=3\) und \(y=2\) (\(\text{L}=(3|2)\)).
Da eine der Gleichungen bereits nach einer Variablen aufgelöst ist, bietet sich das Einsetzungsverfahren an. Wir setzen dazu \(y=-\frac{1}{2}x-2\) in die zweite Gleichung ein und erhalten für \(x\):
\[\begin{align} &3x+2 \left(-\frac{1}{2}x-2\right)=2 \\ &3x-x-4=2 \\ &2x-4=2 &&\mid +4 \\ &2x=6 &&\mid :2 \\ &x=3 \end{align}\]Jetzt setzen wir \(x=3\) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen (zum Beispiel die erste) ein und erhalten: \(y=-\frac{1}{2}3-2=-\frac{7}{2}\).
Die Lösung ist somit \(x=3\) und \(y=-\frac{7}{2}\) (\(\text{L}=\left(3\bigl|-\frac{7}{2}\right)\)).
Da in beiden Gleichungen der Term \(3x\) vorkommt, eignet sich das Additionsverfahren.
Dazu multiplizieren wir eine der Gleichungen (zum Beispiel die erste) mit (-1) durch, um so entgegengesetzte Terme zu erhalten und addieren dann die beiden Gleichungen (alternativ kann man die beiden Gleichungne auch direkt von einander subtrahieren):\[\begin{align} &\frac{3}{2}y+3x=\frac{9}{2} \mid \cdot(-1) \\ &-\frac{3}{2}y-3x=-\frac{9}{2} \end{align}\]Addition der Gleichungen:
\[\begin{align} &\left(-\frac{3}{2}y-3x\right)+(2,5y+3x)=-\frac{9}{2}+\frac{3}{2} \\ &y=-3 \end{align}\]Jetzt setzen wir \(y=-3\) in eine der beiden ursprünglichen Gleichungen (zum Beispiel die erste) ein und erhalten:
\(\begin{align} &\frac{3}{2}(-3)+3x=\frac{9}{2} \\ &-\frac{9}{2}+3x=\frac{9}{2} &&\mid + \frac{9}{2} \\ &3x=9 &&\mid :3 \\ &x=3 \end{align}\).
Die Lösung ist somit \(x=3\) und \(y=-3\) (\(\text{L}=(3|-3)\)).