Zum Inhalt springen

Lösung Erarbeitungsaufgabe Ortslinien

Zuletzt geändert von Martin Rathgeb am 2025/11/16 23:23

  1. Zeichnen, Markieren und Benennen.
    i.  Die Strecke AB ist 6 cm lang; der Mittelpunkt M liegt bei 3 cm.  
        → korrekt eingezeichnet und markiert.
    ii. Durch M liegen drei Geraden; eine davon steht senkrecht auf AB  
        → dies ist die Mittelsenkrechte m der Strecke AB.
    iii. Der Kreis um A mit Radius 8 cm ist gezeichnet.  
         → Alle Punkte auf dieser Kreislinie haben zu A den konstanten Abstand 8 cm.
    iv. Die drei Geraden schneiden den Kreis in mehreren Punkten S₁, S₂, S₃, …  
        → Anzahl und Lage unterscheiden sich je nach Zeichnung.
    v. Auf der Mittelsenkrechten m wurden drei weitere Punkte P₁, P₂, P₃ markiert.  
        → Diese Punkte dürfen frei auf m liegen (auch außerhalb des Kreises).

  2. Abstände messen und vergleichen.
    i.  Typische Tabellenstruktur (Beispiel):
        – S₁: Abstand zu A ≈ 8,0 cm; Abstand zu B ≈ 9,4 cm  
        – S₂: Abstand zu A ≈ 8,0 cm; Abstand zu B ≈ 6,9 cm  
        – S₃: Abstand zu A ≈ 8,0 cm; Abstand zu B ≈ 8,1 cm  
        – S₄: Abstand zu A ≈ 8,0 cm; Abstand zu B ≈ 7,9 cm  
        – S₅: Abstand zu A ≈ 8,0 cm; Abstand zu B ≈ 9,0 cm  
        – S₆: Abstand zu A ≈ 8,0 cm; Abstand zu B ≈ 7,0 cm  

        – P₁: Abstand zu A ≈ 4,2 cm; Abstand zu B ≈ 4,2 cm  
        – P₂: Abstand zu A ≈ 7,5 cm; Abstand zu B ≈ 7,5 cm  
        – P₃: Abstand zu A ≈ 2,9 cm; Abstand zu B ≈ 2,9 cm  

        (Messwerte können individuell leicht variieren.)
    ii.  Auswertung der Sᵢ:
         – Für alle Sᵢ gilt SᵢA ≈ 8 cm (Kreisradius).  
         – Die Abstände SᵢB sind verschieden.  
         – Nur wenige Sᵢ haben SᵢA ≈ SᵢB.  
         → Diese Sᵢ liegen (annähernd) auf der Mittelsenkrechten m.
    iii. Auswertung der Pᵢ:
         – Für alle Pᵢ auf der Mittelsenkrechten gilt PᵢA ≈ PᵢB.  
         – Die Werte selbst sind unterschiedlich groß.  
         → Jeder Punkt auf m ist (empirisch) gleich weit von A und B entfernt.

  3. Geometrische Orte vergleichen: Kreis (gesichert) und Mittelsenkrechte (empirisch untersucht, später beweisbar).
    i.  Mögliche Schülerformulierung:
        „Ein geometrischer Ort ist die Menge aller Punkte, die eine bestimmte Bedingung erfüllen.“
    ii. Ergänzter Lückentext (Musterlösung):
        • „Alle Punkte einer Kreislinie um den Punkt Z haben zu Z denselben Abstand;  
           dieser Abstand bleibt für alle Punkte konstant.“
        • „Alle Punkte der Mittelsenkrechten zur Strecke AB haben (vermutlich) zu A und zu B  
          je gleichen Abstand;  
           dabei ist dieser Abstand (vermutlich) über die gesamte Gerade nicht konstant.“

        Hinweis:
        – Der Kreis ist per Definition ein gesicherter geometrischer Ort.  
        – Die Eigenschaft der Mittelsenkrechten wird hier aus Messungen vermutet.  
        – Der vollständige Beweis („AC = BC genau dann, wenn C auf m liegt“) erfolgt später  
          mithilfe der Kongruenzsätze (z.B. SSS oder SWS).