BPE 6.1 Ähnlichkeit, speziell bei Dreiecken

1  Zoomen von Bildern  (15 min) 𝕃

Lara fotografiert die Osterdeko im Garten. Sie möchte ein Poster eines Ostereis drucken und aufhängen. Nach dem Zoomen sieht ihr Bild jedoch komisch aus.
   

1. Begründe die Veränderung von Bild 1 zu Bild 2
2. Erläutere mathematisch, warum das Zoomen so nicht klappt.
3. Erläutere, wie Lara hätte vorgehen müssen.

2  Dreiecke zeichnen  (20 min) 𝕋  𝕃

Gegeben sind die Dreiecke ABC und DEF mit folgenden Angaben:

   AB=6cm, BC=9cm, AC=7,5cm
   DE=8cm, EF=12cm, DF=10cm

1. Zeichne die Dreiecke maßstabsgetreu mit den angegebenen Seitenlängen.
2. Untersuche die Form beider Dreiecke: was fällt dir auf? Wie zeigt sich die Ähnlichkeit zeichnerisch?
3. Beurteile rechnerisch, ob die Dreiecke ähnlich sind. Gib an, welche Ähnichkeitsregel (SWS, WSW, SSS) du verwendest.
4. Berechne den Ähnlichkeitsfaktor k.
5. Begründe in eigenen Worten, wann zwei Dreiecke ähnlich sind.

3  Verhältnisse untersuchen  (5 min) 𝕋  𝕃

1. Ordne zu, ob es sich um eine Vergrößerung oder eine Verkleinerung handelt:

   Verhältnis	Vergrößerung	Verkleinerung
   1 : 3	☐	☐
   3 : 2	☐	☐
   4 : 5	☐	☐
   2 : 3	☐	☐
   5 : 1	☐	☐
   1 : 2	☐	☐
   7 : 4	☐	☐
   4 : 7	☐	☐
   10 : 8	☐	☐
   8 : 10	☐	☐

2. Ermittle eine allgemeingültige Regel, die die Vergrößerung und die Verkleinerung kennzeichnet.

4  Vergrößerung von Fotos  (15 min) 𝕃

Jonas möchte ein altes Familienfoto digital restaurieren und vergrößern. Das Originalfoto hat die Maße 12cm x 8cm. Für eine Ausstellung soll es als Poster mit einer Höhe von 60cm gedruckt werden. Beim ersten Versuch gibt Jonas in der Drucksoftware versehntlich nur die neue Höhe ein; die Software behält die Breite des Originals bei.

1. Beschreibe anschaulich, was mit dem Bild passiert, wenn nur die Höhe geändert wird, nicht aber die Breite.
2. Berechne die korrekte Breite, die das Poster haben müsste, damit das Seitenverhältnis erhalten bleibt.
3. Jonas möchte zusätzlich einen weißen Rand von 5cm rund um das Foto haben. Berechne die Gesamtgröße des Posters inklusive Rand.
4. Ermittle einen mathematischen Zusammenhang (z.B. mit einer Gleichung oder einem Verhältnis), der beschreibt, wann zwei Rechtecke ähnlich sind. Zeige mit diesem Zusammenhang, ob Jonas´erstes Poster (bei dem nur die Höhe geändert wurde) diesem Kriterium entspricht.

5  Das Rätsel der Schatten Dreiecke  (20 min) 𝕃

An einem sonnigen Nachmittag beobachtet Mila, wie ihr Freund Tom neben einem Baum steht. Mila bemerkt: Sowohl Tom als auch der Baum werfen gerade Schatten, und die Spitzen ihrer Schatten liegen auf einer geraden Linie mit den jeweiligen Köpfen. Sie möchte die Höhe des Baumes berechnen.
Gegeben:

• Toms Körpergröße: 1,60 m
• Toms Schattenlänge: 2,00 m
• Schattenlänge des Baumes: 8,50 m

Gesucht: Die Höhe des Baumes.

1. Zeichne eine Skizze, die beide Situationen zeigt (Tom und Baum mit Schatten).
2. Begründe, dass die beiden Dreiecke ähnlich sind.
3. Berechne die Höhe des Baumes.
4. Berechne wie hoch der Baumschatten sein müsste, wenn Toms Schatten 2,4 m lang wäre. Die Ähnlichkeit der Dreiecke soll dabei erhalten bleiben? Erläutere dein Vorgehen.