Lösung Mittelpunktswinkel anpassen

a) Damit die Kreisbogenlänge gleich dem Radius ist, muss gelten:
\(2\pi r\cdot \frac{\alpha}{360°}=r\)
umgestellt nach \(\alpha\) ergibt sich:
\(\alpha=\frac{360°}{2\pi}\approx 57,30°\)

b) Der Radius des Kreisausschnit entspricht der Diagonale \(d\) des Quadrates. Es gilt also
 \(r=d=\sqrt{x^2+x^2}=\sqrt{2}\cdot x\)

Die Fläche des Kreisausschnitts ist \(A_{K}=\pi r^2\cdot\frac{\alpha}{360°}=\pi (\sqrt{2}\cdot x)^2\cdot\frac{\alpha}{360°}=\pi\cdot 2\cdot x^2\cdot\frac{\alpha}{360°}\)
   
Diese Fläche soll identisch zur Fläche \(A_Q\) des Quadrates sein:
\(A_K=A_Q\)
\(\pi\cdot2\cdot x^2\cdot\frac{\alpha}{360°}=x^2\)
   
aufgelöst nach \(\alpha\) ergibt sich:
   \(\alpha=\frac{360°}{2\pi}\approx 57,30°\)
Das Ergebnis ist also identisch zum Aufgabenteil a).