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Lösung Mandala berechnen

Version 16.1 von Sarah Könings am 2026/02/04 07:35
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  1. Mandala.04.L.png
    Es gilt \(a^2 + b^2 =4^2 + 4^2 = 32= c^2 \).
    \( c= \sqrt{32}, A= c^2 = \sqrt{32} \cdot \sqrt{32} = 32 \)

    \[\begin{align*} a^2 + b^2 = c^2 \\ 4^2 + 4^2 =c^2\\ 16+ 16 =c^2\\ 32 =c^2\\ \sqrt{32} =c\\ A= c^2 = \sqrt{32} \cdot \sqrt{32} = 32 \end{align*}\]

  2. Mandala.03.L.png
    Feststellung: gelbe Dreiecke = blaue Dreiecke. Mit Hilfe der Strahlensätze erkennt man, dass die Höhe eines gelben Dreiecks \(\frac{1}{8}\) der Kantenlänge des Quadrats ist. Somit ist die Höhe 1 cm. Die Grundseite ist \(\frac{8}{2}=4cm\) lang.

    \(\begin{align*} A_\Delta = \frac{1}{2} \cdot g \cdot h\\ A_\Delta = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 1 =2\\ \end{align*}\)
    6 Dreiecke: \(2 \cdot 6= 12cm^2\)
    Berechnung er grünen Dreiecke:

    1. Berechne die Diagonale des gesamten Quadrats und teile durch 4:
      \(\begin{align*} 8^2 +8^2 = 128\\ d= \sqrt{128} \\ a_{grün}= \frac{\sqrt{128}}{4}\\ \end{align*}\)
    2. Berechne Seite \(b_{grün}:\)
      \(\begin{align*} b_{grün}= \frac{\sqrt{128}}{4}:2=\sqrt{2} \\ \end{align*}\)
    3. Berechne die Fläche
      \(\begin{align*} A_{\Delta_{grün}}= \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{128}}{4} =2 \\ \end{align*}\)
    4. Berechne den gesamten Flächeninhalt aller Flächen:
      \(\begin{align*} 2 \cdot A_{\Delta_{grün}} +12 = 2 \cdot 2 +12 =16 \\ \end{align*}\)
      Die Flächen haben einen gemeinsamen Flächeninhalt von \(16 cm^2\).

  3. Berechnung \(A_K1:\) Aus Teilaufgabe b) wird klar, dass der Radius von \(K_1\) der Höhe \(h_1\) entspricht. Damit folgt \(r_{K1} = 1 cm\).
    A_{K1}= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\sqrt{128}}{4}  =2

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