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Zusammenfassung

Details

Seiteneigenschaften
Dokument-Autor
... ... @@ -1,1 +1,1 @@
1 -XWiki.holgerengels
1 +XWiki.martinawagner
Inhalt
... ... @@ -1,3 +1,12 @@
1 +{{aufgabe id="Kombinatorik" afb="III" Kompetenzen="K2, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
2 +[[image:10-seitiger Würfel.jpg||width="120" style="float: right"]]Fünf zehnseitige Würfel (mit den Zahlen 1–10) werden gleichzeitig in einem Würfelbecher geworfen. Für jeden Würfel beträgt die Wahrscheinlichkeit für jede Augenzahl 10%.
3 +
4 +Untersuche, wie viele unterschiedliche Wurfbilder geworfen werden können. (unterschiedlich im Sinne von alle verschieden, zwei gleiche, ..., alle gleich)
5 +
6 +(% style="text-align: right" %)
7 +,,**Bild: ** [[Dietmar Rabich>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:XRay]], [[Würfel, pentagonales Trapezoeder>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Würfel,_pentagonales_Trapezoeder_(W10)_--_2021_--_5627.jpg]], Ausschnitt, [[CC BY-SA 4.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/legalcode]],,
8 +{{/aufgabe}}
9 +
1 1  {{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="K2, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
2 2  Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
3 3  
... ... @@ -16,7 +16,7 @@
16 16  Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.
17 17  {{/aufgabe}}
18 18  
19 -{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="K2, K5, K4" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
28 +{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
20 20  [[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In {{formula}}[0; \pi/2]{{/formula}} soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
21 21  
22 22  (% style="list-style: alphastyle" %)
... ... @@ -32,7 +32,30 @@
32 32  (Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.)
33 33  {{/aufgabe}}
34 34  
35 -{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="K2,K1,K6,K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
44 +{{aufgabe id="Integralfunktion" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
45 +Paul, Sevda und Lucie wiederholen die Integralfunktion. Sie haben verstanden, dass jede Integralfunktion {{formula}}I_a{{/formula}} einer Funktion //f// auch Stammfunktion derselben Funktion //f// ist. In der Lerngruppe herrscht nun jedoch Uneinigkeit darüber, ob umgekehrt jede Stammfunktion auch Integralfunktion ist.
46 +
47 +* Paul behauptet, dies sei für jede Funktion //f// der Fall.
48 +* Sevda meint dagegen, jede Funktion besäße auch Stammfunktionen, die //keine// Integralfunktionen sind.
49 +* Lucie zuletzt ist der Auffassung, dass es von der Funktion abhänge.
50 +
51 +Begründe zunächst, weshalb jede Integralfunktion von //f// auch Stammfunktion von //f// ist. Überprüfe dann, wer Recht hat.
52 +{{/aufgabe}}
53 +
54 +{{aufgabe id="Integralfunktion2" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
55 +//f// bezeichnet im Folgenden eine im ganzen Definitionsbereich **D** knickfreie Funktion.
56 +
57 +Streng steigende Monotonie ist für //f// wie folgt definiert:
58 +Wenn für alle {{formula}}a, b \in \textbf{D}{{/formula}} mit {{formula}}a<b{{/formula}} gilt: {{formula}}f(a)<f(b){{/formula}}, heißt //f// streng monoton steigend.
59 +
60 +Aus dem Unterricht wissen wir, dass wir streng steigende Monotonie auch wie folgt untersuchen können:
61 +Wenn für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt: {{formula}}f'(x)>0{{/formula}}, dann ist //f// streng monoton steigend.
62 +
63 +Zeige mit Hilfe einer geeigneten Funktion //f// folgende Aussage:
64 +Eine Funktion kann auch dann streng monoton steigend sein, wenn {{formula}}f'(x)>0{{/formula}} nicht für alle {{formula}}x \in \textbf{D}{{/formula}} gilt.
65 +{{/aufgabe}}
66 +
67 +{{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
36 36  [[image:Lichtschalter_mechanisch.jpg||style="float: right" width="200"]]Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
37 37  
38 38  Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.
... ... @@ -54,7 +54,7 @@
54 54  ,,**Bild: ** [[4028mdk09>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:4028mdk09">4028mdk09]], [[Lichtschalter mechanisch>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lichtschalter_mechanisch.JPG]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]],,
55 55  {{/aufgabe}}
56 56  
57 -{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
89 +{{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
58 58  [[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.
59 59  
60 60  Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.
... ... @@ -67,7 +67,7 @@
67 67  ,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
68 68  {{/aufgabe}}
69 69  
70 -{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" Kompetenzen="K2, K1, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
102 +{{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
71 71  Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
72 72  
73 73  In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
... ... @@ -88,98 +88,60 @@
88 88  Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
89 89  Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
90 90  
123 +
91 91  Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
92 92  {{/aufgabe}}
93 93  
94 -{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
127 +{{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
95 95  Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
96 96  Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
97 -
130 +
98 98  Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
99 99  
100 100   [[image:Aufgabe10Plot.PNG||width="1000"]]
101 101  
102 102  Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
103 -
136 +
104 104  Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
105 -
138 +
106 106  {{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
107 -
140 +
108 108  (Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
109 109  
110 110  //Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
111 111  {{/aufgabe}}
112 112  
146 +{{aufgabe id="Grashalm-Orakel" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
147 +Wenn früher in Russland eine junge Frau wissen wollte, ob sie im nächsten Jahr verheiratet sein werde, fragte sie das Grashalm-Orakel.
148 +Sie nahm 4 Grashalme in die Faust, sodass sie oben und unten herausragten, und bat eine Freundin, alle Enden oberhalb der Faust irgendwie zufällig, aber paarweise, zusammenzuknoten. Bei allen Enden unterhalb der Faust ebenso. Dann öffnet das Mädchen die Faust. Falls dabei ein einziger großer Ring aus Gras entsteht, bedeutet dies, dass die junge Frau im nächsten Jahr heiraten werde.
113 113  
114 -
115 -{{aufgabe id="Wanderung" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
116 -Daniel startet seine Wanderung um 8 Uhr im Tal. Er kommt um 18 Uhr auf der Berghütte an und
117 -übernachtet dort. Am nächsten Morgen beginnt er seinen Rückweg um 8 Uhr und erreicht um 18 Uhr
118 -das Tal.
119 -Hierbei wandert Daniel nicht unbedingt mit konstanter Geschwindigkeit.
120 -
121 -Beweisen Sie, dass es eine Uhrzeit zwischen 8 Uhr und 18 Uhr gibt, zu welcher sich Daniel
122 -an beiden Tagen an der exakt gleichen Stelle seiner Wanderung befindet.
150 +Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Situation ein einziger großer Ring aus Gras entsteht?
123 123  {{/aufgabe}}
124 124  
125 -{{aufgabe id="QuadratinKreis" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
126 -[[image:QuadratinKreisinQuadrat.PNG||width="200" style="float: right"]]
127 -In ein Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben.
128 -Der Kreis stellt wiederum den Umkreis eines
129 -kleineren Quadrates dar.
130 -
131 -In welchem Verhältnis stehen die die Flächeninhalte
132 -der beiden Quadrate zueinander?
133 -{{/aufgabe}}
153 +{{aufgabe id="Gitter" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
154 +[[image:Gitter 7x7.svg||style="float: right" width="200"]]Wie viele Möglichkeiten gibt es, bei einem beliebigen mxm-Gitter (//m// ist eine natürliche Zahl) entlang der Gitterlinien auf kürzestem Wege von einer Ecke zur diagonal gegenüberliegenden Ecke zu gelangen?
134 134  
156 +Zur Problemlösung legen Ihnen 3 Mitschüler*innen Lösungsansätze vor. Begründe, welcher Ansatz stimmt
157 +und weshalb die beide anderen Ansätze falsch sind.
135 135  
136 -
137 -{{aufgabe id="Unendliche Quadrate" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
138 -[[image:unendlicheQuadrate.PNG||width="250" style="float: right"]]
139 -
140 -Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate
141 -zerlegt: Das Ausgangsquadrat wird geviertelt. Das
142 -Viertelquadrat links unten wird schwarz eingefärbt.
143 -Das Quadrat rechts oben wird wieder geviertelt usw..
144 -Auf diese Weise entstehen unendlich viele schwarze
145 -Quadrate, die immer kleiner werden.
146 -
147 -Wie groß ist der prozentuale Anteil der schwarz gefärbten Fläche am Ausgangsquadrat?
159 +**Ansatz 1:** {{formula}}2m{{/formula}} mögliche Wege
160 +**Ansatz 2:** {{formula}}2^{2m}{{/formula}} mögliche Wege
161 +**Ansatz 3:** {{formula}}\binom{2m}{m}{{/formula}} mögliche Wege
148 148  {{/aufgabe}}
149 149  
150 -{{aufgabe id="Blaettchen" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
151 -[[image:Blaettchen.PNG||width="340" style="float: right"]]
152 -Mara legt Blättchen nach nebenstehendem
153 -Muster. Die ersten drei Muster hat sie schon gelegt.
154 -Ab welchem Muster benötigt Mara mehr als 1000
155 -Blättchen? Begründe.
164 +{{aufgabe id="Urne Blau Weiß" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
165 +In einer Urne liegen zwei Kugeln, eine ist weiß und eine ist blau. Lea zieht zufällig, also ohne hinzuschauen, eine Kugel aus der Urne.
166 +Sie betrachtet deren Farbe und legt die gezogene Kugel zusammen mit einer weiteren, gleichfarbigen Kugel zurück in die Urne. Diese Schritte wiederholt sie immer wieder. Mit jedem Zug kommt so eine zusätzliche Kugel hinzu. Sie führt dies genau 100 Mal durch, sodass sich am Ende 102 Kugeln in der Urne befinden.
167 +Am Ende befinden sich 100 blaue und nur zwei weiße Kugeln. Es wurde also nur ein einziges Mal eine weiße Kugel gezogen.
168 +Ist es wahrscheinlicher, dass dies während der ersten 50 Züge oder während der zweiten 50 Züge geschah? Oder liegt die gleiche Wahrscheinlichkeit vor? Begründe.
156 156  {{/aufgabe}}
157 157  
158 -{{aufgabe id="Spinne" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
159 -[[image:SpinneSchachtel.png||width="240" style="float: right"]]
160 -Eine Spinne befindet sich im Punkt A und möchte auf einer geschlossenen Schachtel nach B krabbeln. Sie kann Flächen queren oder Kanten entlang krabbeln.
161 -
162 -Ermittle die Länge des kürzesten Weges.
171 +{{aufgabe id="Max und Moritz" afb="III" Kompetenzen="" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
172 +Max und Moritz würfeln gegeneinander. Sie haben drei verschiedene sechsseitige Würfel, deren Seiten mit folgenden
173 +Zahlen beschriftet sind:
174 +Würfel A: 2, 2, 2, 2, 5, 5
175 +Würfel B: 1, 1, 4, 4, 4, 4
176 +Würfel C: 3, 3, 3, 3, 3, 3
177 +Max darf sich zunächst einen Würfel aussuchen, mit welchem er später ein Mal würfelt. Dann darf sich Moritz einen von den verbliebenen zwei Würfeln aussuchen, mit welchem er später ein Mal würfelt. Wer die höhere Zahl wirft, gewinnt.
178 +Welcher Spielteilnehmer hat die größten Chancen zu gewinnen? Beschreibe und begründe die Strategie, die hierfür gewählt werden sollte.
163 163  {{/aufgabe}}
164 -
165 -{{aufgabe id="Kreismittelpunkt" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
166 -Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem werden zufällig drei Punkte A, B und C ausgewählt und durch ein Dreieck miteinander verbunden.
167 -
168 -Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks (oder auf einer Dreiecksseite)?
169 -{{/aufgabe}}
170 -
171 -{{aufgabe id="Quadrat-Spirale" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
172 -In der Skizze sind die ersten beiden Windungen einer „Quadrat-Spirale“ dargestellt. Eine Windung beginnt und endet stets im linken unteren Punkt.
173 -
174 -Welche Windung hat eine Länge von 94 LE?
175 -[[image:Quadratspirale.PNG||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
176 -{{/aufgabe}}
177 -
178 -{{aufgabe id="Pilot " afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
179 -Ein Pilot fliegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille fliegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h.
180 -Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinflug Rückenwind und fliegt mit 105 km/h, beim Rückflug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.
181 -
182 -Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.
183 -
184 -Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtflugzeit für Hin- und Rückflug vorliegt.
185 -{{/aufgabe}}
Blaettchen.PNG
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... ... @@ -1,1 +1,0 @@
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Inhalt
QuadratinKreisinQuadrat.PNG
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Inhalt
Quadratspirale.PNG
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1 -11.9 KB
Inhalt
SpinneSchachtel.png
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Inhalt
unendlicheQuadrate.PNG
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1 -10.7 KB
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