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Zusammenfassung

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  • Gaußsche Summenformel.PNG
  • Nichomachus.PNG

Details

Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

...	...	@@ -1,1 +1,1 @@
1		-XWiki.akukin
	1	+XWiki.holgerengels

Inhalt

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1		-{{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="K2, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="40"}}
2		-Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
3		-
4		-Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
5		-
6		-Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert.
7		-
8		-[[image:x hoch minus 2.png]]
9		-{{/aufgabe}}
10		-
11		-{{aufgabe id="Glücksrad" afb="II" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="20"}}
12		-[[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.
13		-
14		-So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.
15		-
16		-Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.
17		-{{/aufgabe}}
18		-
19	19	{{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="K2, K5, K4" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
20	20	[[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In {{formula}}[0; \pi/2]{{/formula}} soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
21	21
...	...	@@ -189,27 +189,75 @@
189	189	{{/aufgabe}}
190	190
191	191
192		-{{aufgabe id="Parabelmaschine" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
193		-Denke dir zwei Zahlen, eine positiv, eine negativ.
194		-Wenn du diese Zahlen quadrierst, erhältst du zwei Punkte auf der Normalparabel.
	174	+{{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
	175	+Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + //n// kann man mit der
	176	+sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
	177	+[[image:Gaußsche Summenformel.PNG||width="420"]]
195	195
196	196	{{lehrende}}
197		-**Variante 1: Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit**
198		-Wo schneidet die Verbindungslinie dieser zwei Punkte die y-Achse?
	180	+**Variante 1:**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
	181	+Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung
199	199
200		-Und wenn beide Zahlen positiv sind?
201		-**Variante 2: : Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien,
202		-Verallgemeinerung**
203		-Wo schneidet die Verbindungslinie dieser zwei Punkte die y-Achse?
204		-{{/lehrende}}
	183	+**Variante 2:** Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung
	184	+Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
	185	+**Schüler 1:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n =n(n+1)
	186	+**Schüler 2:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2)
	187	+**Schüler 3:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1)
	188	+Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
	189	+die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.
	190	+{{/lehrende}}
	191	+{{/aufgabe}}
	192	+
	193	+{{aufgabe id="Nichomachus" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
	194	+„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“
	195	+
	196	+{{lehrende}}
	197	+**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit**
	198	+{{/lehrende}}
	199	+
	200	+Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
	201	+[[image:Nichomachus.PNG||width="420"]]
205	205
206		-Zur Problemlösung legen dir zwei Mitschüler die Ergebnisse zweier Lösungen vor.
	203	+Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.
	204	+{{/aufgabe}}
	205	+
	206	+{{aufgabe id="Gemeinsame Tangenten" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
	207	+
	208	+{{lehrende}}
	209	+**Variante 1:** offene Aufgabe für den Unterricht
	210	+
	211	+**Aufgabe 1**
	212	+
	213	+Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
207	207
208		-Schüler 1:
209		-Die Gerade durch die beiden Punkte {{formula}} P(a|a^2){{/formula}} und {{formula}}Q(b|b^2){{/formula}} schneidet die y-Achse bei {{formula}}S(0 | |a\cdot b|){{/formula}}.
	215	+ {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-u)^2 + v {{/formula}}.
	216	+
	217	+Untersuche systematisch die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gebe gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	218	+
	219	+**Aufgabe 2**
	220	+
	221	+Gegeben ist eine weitere Parabel //K,,h,,//mit {{formula}}h(x)=-x^2 + v{{/formula}}. Untersuche //K,,f,,// und //K,,h,,// systematisch auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
210	210
211		-Schüler 2:
212		-Die Gerade durch die beiden Punkte {{formula}}P(a| a^2){{/formula}} und {{formula}}Q(b| b^2){{/formula}} schneidet die y-Achse bei {{formula}}S\Bigl(0\Bigl|\frac{2a}{b}\Bigl){{/formula}}
	223	+**Aufgabe 3**
213	213
214		-Begründe am Modell, welcher Ansatz stimmt und vervollständige die fehlenden Rechenschritte.
	225	+Verallgemeinere deine Überlegungen aus Aufgabe 2 auf eine weitere Parabel //K,,j,,// mit {{formula}}j(x)=-(x-u)^2 + v{{/formula}}. Untersuche wiederum //K,,f,,// und //K,,j,,// auf gemeinsame Tangenten.
	226	+Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	227	+
	228	+**Variante 2:** Klassenarbeitsaufgabe
	229	+
	230	+**Aufgabe 1.1**
	231	+Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
	232	+ {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-2)^2 + 4 {{/formula}}.
	233	+a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
	234	+b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von //g// durch {{formula}}u, 𝑣 \in \mathbb{R} {{/formula}} ersetzt: {{formula}}g(x) = (x-u)^2+v {{/formula}}
	235	+
	236	+Gibt es für alle Werte von //𝑢// und //𝑣// eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel //K,,f,,//?
	237	+
	238	+**Aufgabe 1.2**
	239	+
	240	+Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
	241	+ {{formula}} f(x)= x^2 + 2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= -x^2 -2 {{/formula}}.
	242	+Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.
	243	+{{/lehrende}}
	244	+
215	215	{{/aufgabe}}

Gaußsche Summenformel.PNG

Author

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	1	+XWiki.akukin

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Nichomachus.PNG

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Inhalt