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- Gaußsche Summenformel.PNG
- Nichomachus.PNG

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Seiteneigenschaften

Dokument-Autor

@@ -1,1 +1,1 @@
--XWiki.holgerengels
++XWiki.akukin

Inhalt

@@ -1,3 +1,21 @@
++{{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="K2, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="40"}}
++Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
++
++Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
++
++Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert.
++
++[[image:x hoch minus 2.png]]
++{{/aufgabe}}
++
++{{aufgabe id="Glücksrad" afb="II" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="20"}}
++[[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.
++
++So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.
++
++Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.
++{{/aufgabe}}
++
  {{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="K2, K5, K4" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA" zeit="30"}}
  [[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In {{formula}}[0; \pi/2]{{/formula}} soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
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  {{/aufgabe}}
--{{aufgabe id="Gaußsche Summenformel" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
--Die Summe der ersten //n// natürlichen Zahlen 1 + 2 + 3 + ⋯ + //n// kann man mit der
--sogenannten Gaußschen Summenformel berechnen.
--[[image:Gaußsche Summenformel.PNG||width="420"]]
++{{aufgabe id="Parabelmaschine" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
++Denke dir zwei Zahlen, eine positiv, eine negativ.
++Wenn du diese Zahlen quadrierst, erhältst du zwei Punkte auf der Normalparabel.
  {{lehrende}}
--**Variante 1:**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit
--Ermittle diese Formel mit Hilfe der obigen grafischen Darstellung
++**Variante 1: Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit**
++Wo schneidet die Verbindungslinie dieser zwei Punkte die y-Achse?
--**Variante 2:** Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien, Verallgemeinerung
--Drei Mitschüler legen dir die folgenden Ergebnisse vor.
--**Schüler 1:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n =n(n+1)
--**Schüler 2:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{6}{{/formula}} n(n+1)(n+2)
--**Schüler 3:** 1 + 2 + 3 +{{formula}}\dots{{/formula}} + n ={{formula}}\frac{1}{2}{{/formula}} n(n+1)
--Begründe, welcher Schüler die richtige Formel gefunden hat und erkläre, warum
--die folgende grafische Darstellung bei der Ermittlung der richtigen Summenformel helfen kann.
--{{/lehrende}}
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Nichomachus" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
--„Wenn ich alle natürlichen Zahlen bis zu einer beliebigen Zahl (zum Beispiel bis zu meiner Lieblingszahl) zusammenzähle und dann diese Summe quadriere, erhalte ich dasselbe Ergebnis, wie wenn ich die Zahlen zuerst einzeln hoch drei nehme und dann zusammenzähle.“
--
--{{lehrende}}
--**Offene Aufgabe für den Unterricht & für die Klassenarbeit**
--{{/lehrende}}
--
--Untersuche diese Behauptung. Dazu kannst du bei Bedarf folgende Grafik benutzen:
--[[image:Nichomachus.PNG||width="420"]]
++Und wenn beide Zahlen positiv sind?
++**Variante 2: : Kleinere Klassenarbeitsvariante, Vergleich von Strategien,
++Verallgemeinerung**
++Wo schneidet die Verbindungslinie dieser zwei Punkte die y-Achse?
++{{/lehrende}}
--Gib, sofern diese Behauptung stimmt, eine allgemeine Formel an.
--{{/aufgabe}}
--
--{{aufgabe id="Gemeinsame Tangenten" afb="" Kompetenzen="" tags="" quelle="" cc="BY-SA" zeit=""}}
--
--{{lehrende}}
--**Variante 1:** offene Aufgabe für den Unterricht
--
--**Aufgabe 1**
--
--Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
++Zur Problemlösung legen dir zwei Mitschüler die Ergebnisse zweier Lösungen vor.
--    {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-u)^2 + v {{/formula}}.
--
--Untersuche systematisch die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gebe gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
--
--**Aufgabe 2**
--
--Gegeben ist eine weitere Parabel //K,,h,,//mit {{formula}}h(x)=-x^2 + v{{/formula}}. Untersuche //K,,f,,// und //K,,h,,// systematisch auf gemeinsame Tangenten. Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
++Schüler 1:
++Die Gerade durch die beiden Punkte {{formula}} P(a|a^2){{/formula}} und {{formula}}Q(b|b^2){{/formula}} schneidet die y-Achse bei {{formula}}S(0 | |a\cdot b|){{/formula}}.
--**Aufgabe 3**
++Schüler 2:
++Die Gerade durch die beiden Punkte {{formula}}P(a| a^2){{/formula}} und {{formula}}Q(b| b^2){{/formula}} schneidet die y-Achse bei {{formula}}S\Bigl(0\Bigl|\frac{2a}{b}\Bigl){{/formula}}
--Verallgemeinere deine Überlegungen aus Aufgabe 2 auf eine weitere Parabel //K,,j,,// mit {{formula}}j(x)=-(x-u)^2 + v{{/formula}}. Untersuche wiederum //K,,f,,// und //K,,j,,// auf gemeinsame Tangenten.
--Gehe dabei auf die Existenz, Anzahl und Lage dieser Tangenten in Abhängigkeit von //u// und //v// ein. Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
--
--**Variante 2:** Klassenarbeitsaufgabe
--
--**Aufgabe 1.1**
--Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
--      {{formula}} f(x)= x^2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= (x-2)^2 + 4 {{/formula}}.
--a) Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls eine Gleichung der gemeinsamen Tangente an.
--b) Verallgemeinere dein Vorgehen, indem du die Verschiebungsparameter 2 und 4 im Funktionsterm von //g// durch {{formula}}u, 𝑣 \in \mathbb{R} {{/formula}} ersetzt:  {{formula}}g(x) = (x-u)^2+v {{/formula}}
--
--Gibt es für alle Werte von //𝑢// und //𝑣// eine gemeinsame Tangente mit der Normalparabel //K,,f,,//?
--
--**Aufgabe 1.2**
--
--Gegeben sind die beiden Parabeln //K,,f,,// und //K,,g,,// mit
--      {{formula}} f(x)= x^2 + 2 {{/formula}} und {{formula}} g(x)= -x^2 -2 {{/formula}}.
--Untersuche die beiden Parabeln auf gemeinsame Tangenten (Geraden, die beide Parabeln berühren). Gib gegebenenfalls Gleichungen der gemeinsamen Tangenten an.
--{{/lehrende}}
--
++Begründe am Modell, welcher Ansatz stimmt und vervollständige  die fehlenden Rechenschritte.
  {{/aufgabe}}

Gaußsche Summenformel.PNG

Author

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1		-XWiki.akukin

Größe

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Inhalt

Nichomachus.PNG

Author

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1		-XWiki.akukin

Größe

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