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Wiki-Quellcode von Pool

Version 78.1 von Holger Engels am 2023/11/20 10:24
Verstecke letzte Bearbeiter
Martina Wagner 47.1 1 {{aufgabe id="Uneigentliches Integral" afb="III" Kompetenzen="K2, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 4.1 2 Betrachtet wird für negative rationale Zahlen //q// die Potenzfunktion //p// mit {{formula}}p(x)=x^q;\: x\neq 0{{/formula}}.
3
4 Für {{formula}}b \rightarrow \infty{{/formula}} heißt {{formula}}U_q=\int_1^b{p(x)}\cdot dx{{/formula}} //uneigentliches Integral// über //p//, falls {{formula}}U_q{{/formula}} eine reelle Zahl ergibt.
5
6 Überprüfe, für welche Werte von //q// das uneigentliche Integral {{formula}}U_q{{/formula}} existiert.
Holger Engels 6.1 7
8 [[image:x hoch minus 2.png]]
Holger Engels 4.1 9 {{/aufgabe}}
10
Martina Wagner 48.1 11 {{aufgabe id="Glücksrad" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 9.1 12 [[image:Glücksrad.svg||width="180" style="float: right"]]Ein Glücksrad mit einem roten Gewinnbereich von einem Viertel wird so gedreht, dass es in einer völlig zufälligen Position zum Stillstand kommt. Einen Beobachter interessiert, wie groß der Abstand der Halteposition (grünes Dreieck in der Skizze) zum Gewinnbereich ist. Er misst den Abstand in Grad.
13
Holger Engels 7.1 14 So ist der Abstand z.B. 0°, falls das Glücksrad im Gewinnbereich zum Stillstand kommt und 90°, falls es nach einem Drittel oder zwei Dritteln des Verlustbereichs zum Stillstand kommt.
15
16 Bestimme mit Hilfe einer geeigneten Zeichnung den Erwartungswert dieses Abstands bei einmaliger Drehung des Glücksrads.
17 {{/aufgabe}}
18
Martina Wagner 49.1 19 {{aufgabe id="Annäherung" afb="III" Kompetenzen="K2, K5, K4" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
akukin 40.1 20 [[image:cos und pot.png|| style="float: right" width="320"]]In {{formula}}[0; \pi/2]{{/formula}} soll die Funktion //f// mit {{formula}}f(x)=\cos{x}{{/formula}} durch eine Potenzfunktion //g// mit {{formula}}g(x)=1-ax^q{{/formula}} angenähert werden, wobei //q// eine positive rationale Zahl ist und //a// so gewählt wird, dass der Graph von //g// ebenfalls bei //π/2// eine Nullstelle besitzt.
Holger Engels 12.1 21
22 (% style="list-style: alphastyle" %)
23 1. Bestimme //a// in Abhängigkeit von //q//.
24 1. (((Begründe, weshalb ein kleiner Wert des Integrals
25
Holger Engels 15.1 26 {{formula}}\int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x)-g(x)\cdot dx{{/formula}}
Holger Engels 12.1 27
28 ein guter Hinweis dafür ist, dass //g// eine gute Näherung für //f// ist.
29 )))
30 1. Finde eine Potenzfunktion //g//, die //f// gemäß des Kriteriums von b) gut annähert.
31
32 (Bonus: Stelle //f// und die Annäherung aus c) mit Geogebra dar und berechne die durchschnittliche Abweichung von //f// und der Annäherungsfunktion.)
33 {{/aufgabe}}
34
Martina Wagner 52.1 35 {{aufgabe id="Lichtschalterproblem" afb="III" Kompetenzen="K2,K1,K6,K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 30.2 36 [[image:Lichtschalter_mechanisch.jpg||style="float: right" width="200"]]Ein Hotel hat 100 Zimmer mit den Nummern 1 bis 100 und 100 Gäste. Jedes Zimmer hat einen Lichtschalter, der das Licht einschaltet, wenn es aus ist und es ausschaltet, wenn es an ist.
Holger Engels 18.1 37
38 Zunächst sind alle Lichter ausgeschaltet.
39
40 Dann geht jeder Gast der Reihe nach durch jedes Zimmer:
41
42 * Gast 1 drückt den Schalter jedes Zimmers.
43 * Gast 2 drückt den Schalter jedes zweiten Zimmers, also von Zimmer 2, 4, 6, …
44 * Gast 3 drückt den Schalter jedes dritten Zimmers, also von Zimmer 3, 6, 9, …
45 * Gast 4…
46 * …
47 * Gast 100 drückt den Schalter jedes hundertsten Zimmers, also nur von Zimmer 100.
48
49 Beschreibe, wie für ein frei gewähltes Zimmer n (1 ≤ n ≤ 100) geprüft werden kann, ob nach dem Durchgang des letzten Gastes das Licht aus- oder eingeschaltet ist.
50
51 (Bonus: Simuliere das Lichtschalter-Problem mit einer Tabellenkalkulation oder mithilfe einer Programmiersprache und überprüfe, welche Lichter nach dem kompletten Durchlauf aus sind.)
Holger Engels 33.1 52
53 (% style="text-align: right" %)
54 ,,**Bild: ** [[4028mdk09>>https://commons.wikimedia.org/wiki/User:4028mdk09">4028mdk09]], [[Lichtschalter mechanisch>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Lichtschalter_mechanisch.JPG]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode]],,
Holger Engels 18.1 55 {{/aufgabe}}
56
Martina Wagner 52.1 57 {{aufgabe id="Türme von Hanoi" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
Holger Engels 20.1 58 [[image:Tower_of_Hanoi.jpg||width="300" style="float: right"]]Die „Türme von Hanoi“ sind ein altes asiatisches Rätselspiel, welches im 19. Jahrhundert im Westen eingeführt wurde.
Holger Engels 18.1 59
60 Es besteht aus drei am Boden fixierten senkrechten Stäben, von denen zu Beginn die rechte und mittlere Stange unbelegt sind und die linke Stange eine n-stöckige Pyramide enthält, deren Stöcke aus gelochten Scheiben abnehmender Größe besteht. Die Abbildung rechts zeigt eine Holzversion des Spiels mit n=8 Stöcken.
61
62 Ziel des Spiels ist, die komplette Pyramide in möglichst wenigen Zügen auf den rechten Stab zu versetzen. Pro Zug darf genau eine Scheibe von einem Stab oben abgezogen und auf einen anderen Stab gesetzt werden. Dabei darf niemals eine Scheibe auf eine kleinere Scheibe abgelegt werden.
63
64 Untersuche in Abhängigkeit von n, in wie vielen Zügen N das Spiel optimalerweise gelöst werden kann.
65
Holger Engels 33.1 66 (% style="text-align: right" %)
67 ,,**Bild: ** anonym, [[Tower of Hanoi>>https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Tower_of_Hanoi.jpeg]], [[CC BY-SA 3.0>>https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/legalcode" rel="license]],,
Holger Engels 18.1 68 {{/aufgabe}}
69
Martina Wagner 52.1 70 {{aufgabe id="Die Rätsel um Johannes und Wilhelm" afb="III" Kompetenzen="K2, K1, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
akukin 22.2 71 Der im Jahr 1919 geborene US-Mathematiker, Logiker, Zauberer und Philosoph Raymond M. Smullyan ist unter anderem für eine Reihe skurriler und lustiger Rätsel bekannt.
72
73 In einem aus mehreren Teilen bestehenden Rätsel Smullyians geht es um die beiden Protagonisten Johannes und Wilhelm. Jeder der beiden ist entweder ein Ritter, der selbstredend immer die Wahrheit sagt oder ein Knappe, der immer lügt.
74
75 **Teil 1**
76 Johannes sagt: „Wilhelm und ich sind beide Knappen.“
77 Wer von den beiden ist was?
78
79 **Teil 2**
80 Johannes sagt: „Wenn Wilhelm ein Knappe ist, so bin ich auch ein Knappe. Wenn Wilhelm ein Ritter ist, so bin ich auch ein Ritter.“
81 Wilhelm sagt: „Wenn Johannes ein Knappe ist, so bin ich ein Ritter. Wenn Johannes ein Ritter ist, so bin ich ein Knappe.“
82 Wer von den beiden ist was?
83
84 **Teil 3**
akukin 24.1 85 //Dies ist der schwierigste Teil des Puzzles und wurde u. a. bekannt durch den Fantasy-Film „Labyrinth“.//
akukin 22.2 86
87 Johannes und Wilhelm, von denen genau einer ein Ritter ist, stehen an einer gefährlichen Weggabelung, von dem zwei Pfade ausgehen: Der eine Pfad führt in die Freiheit und der andere zum sicheren Tod.
88 Johannes und Wilhelm wissen beide, welcher Pfad zur Freiheit führt.
89 Du als Rätsellöser darfst nun genau einem der beiden genau eine Ja-Nein-Frage stellen, um herauszufinden, welcher Pfad zur Freiheit führt. Welche Frage ist das?
90
91 Versuche, alleine oder in einer Gruppe die drei Teile des Rätsels zu lösen und begründe deine Lösungen.
akukin 24.1 92 {{/aufgabe}}
akukin 25.1 93
Martina Wagner 52.1 94 {{aufgabe id="L’Hospital" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Dr. Andreas Dinh" cc="BY-SA"}}
akukin 22.2 95 Im Zusammenhang mit Exponentialfunktionen hast du von deinem Lehrer vielleicht erfahren, dass jede beliebige Exponentialfunktion //f// mit {{formula}} f(x)=a\cdot q^x + b, x \in \mathbb{R}, a,b \in \mathbb{R}, q \in \mathbb{Q}, {{/formula}} „schneller wächst“ als jede beliebige Potenzfunktion //g// mit {{formula}} g(x)= \tilde{a} \cdot x^r + \tilde{b}, x \in \mathbb{R}, \tilde{a},\tilde{b} \in \mathbb{R}, r \in \mathbb{Q} {{/formula}}.
96 Gemeint ist mit dieser Formulierung: Ab einem bestimmten {{formula}}x{{/formula}}-Wert {{formula}}x_0 {{/formula}} ist {{formula}} f(x)>g(x) {{/formula}} für alle {{formula}}x>x_0 {{/formula}}.
Holger Engels 54.1 97
akukin 22.2 98 Betrachtet man z. B. die Funktionen {{formula}} f(x) = \frac{1}{30} \cdot 1,01^x{{/formula}} und {{formula}} g(x)= x^{100} {{/formula}}, so scheint dies nicht der Fall zu sein //(vgl. Abbildung)//.
99
akukin 29.1 100 [[image:Aufgabe10Plot.PNG||width="1000"]]
akukin 22.2 101
102 Untersuche, ob Exponentialfunktionen tatsächlich immer „schneller wachsen“ als Potenzfunktionen.
Holger Engels 54.1 103
akukin 22.2 104 Verwende hierfür ein- oder mehrmalig die Regel von de L’Hospital, die für zwei ableitbare Funktionen //f// und //g// Folgendes besagt:
Holger Engels 54.1 105
akukin 22.2 106 {{formula}}\lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \rightarrow \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}{{/formula}}
Holger Engels 54.1 107
akukin 22.2 108 (Die Regel setzt man ein, wenn für {{formula}} x \rightarrow \infty{{/formula}} Zähler und Nenner beide gegen 0 oder beide gegen {{formula}}-\infty{{/formula}} oder, wie im Fall dieser Aufgabe, beide gegen {{formula}}+\infty {{/formula}} gehen.)
109
akukin 24.1 110 //Für die Aufgabe nicht benötigte Zusatzbemerkung: Die Regel gilt auch für {{formula}} x \rightarrow -\infty{{/formula}} und für {{formula}} x \rightarrow x_0, x_0 \in \mathbb{R}{{/formula}}.//
111 {{/aufgabe}}
Holger Engels 34.1 112
akukin 56.1 113
114
115 {{aufgabe id="Wanderung" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
116 Daniel startet seine Wanderung um 8 Uhr im Tal. Er kommt um 18 Uhr auf der Berghütte an und
117 übernachtet dort. Am nächsten Morgen beginnt er seinen Rückweg um 8 Uhr und erreicht um 18 Uhr
118 das Tal.
119 Hierbei wandert Daniel nicht unbedingt mit konstanter Geschwindigkeit.
120
121 Beweisen Sie, dass es eine Uhrzeit zwischen 8 Uhr und 18 Uhr gibt, zu welcher sich Daniel
122 an beiden Tagen an der exakt gleichen Stelle seiner Wanderung befindet.
123 {{/aufgabe}}
akukin 58.1 124
125 {{aufgabe id="QuadratinKreis" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
akukin 59.1 126 [[image:QuadratinKreisinQuadrat.PNG||width="200" style="float: right"]]
akukin 58.1 127 In ein Quadrat ist ein Kreis einbeschrieben.
128 Der Kreis stellt wiederum den Umkreis eines
129 kleineren Quadrates dar.
130
131 In welchem Verhältnis stehen die die Flächeninhalte
132 der beiden Quadrate zueinander?
133 {{/aufgabe}}
akukin 61.1 134
akukin 63.1 135
akukin 64.1 136
akukin 61.1 137 {{aufgabe id="Unendliche Quadrate" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
138 [[image:unendlicheQuadrate.PNG||width="250" style="float: right"]]
139
140 Ein Quadrat wird in immer kleinere Quadrate
141 zerlegt: Das Ausgangsquadrat wird geviertelt. Das
142 Viertelquadrat links unten wird schwarz eingefärbt.
143 Das Quadrat rechts oben wird wieder geviertelt usw..
144 Auf diese Weise entstehen unendlich viele schwarze
145 Quadrate, die immer kleiner werden.
146
akukin 66.1 147 Wie groß ist der prozentuale Anteil der schwarz gefärbten Fläche am Ausgangsquadrat?
akukin 61.1 148 {{/aufgabe}}
akukin 65.1 149
akukin 64.1 150 {{aufgabe id="Blaettchen" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
151 [[image:Blaettchen.PNG||width="340" style="float: right"]]
152 Mara legt Blättchen nach nebenstehendem
153 Muster. Die ersten drei Muster hat sie schon gelegt.
154 Ab welchem Muster benötigt Mara mehr als 1000
akukin 66.1 155 Blättchen? Begründe.
akukin 64.1 156 {{/aufgabe}}
akukin 68.1 157
158 {{aufgabe id="Spinne" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
akukin 71.1 159 [[image:SpinneSchachtel.png||width="240" style="float: right"]]
akukin 68.1 160 Eine Spinne befindet sich im Punkt A und möchte auf einer geschlossenen Schachtel nach B krabbeln. Sie kann Flächen queren oder Kanten entlang krabbeln.
161
akukin 69.1 162 Ermittle die Länge des kürzesten Weges.
akukin 68.1 163 {{/aufgabe}}
akukin 73.1 164
akukin 76.1 165 {{aufgabe id="Kreismittelpunkt" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
166 Gegeben ist ein Kreis. Auf diesem werden zufällig drei Punkte A, B und C ausgewählt und durch ein Dreieck miteinander verbunden.
167
168 Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt der Mittelpunkt des Kreises innerhalb des Dreiecks (oder auf einer Dreiecksseite)?
169 {{/aufgabe}}
170
akukin 73.1 171 {{aufgabe id="Quadrat-Spirale" afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
172 In der Skizze sind die ersten beiden Windungen einer „Quadrat-Spirale“ dargestellt. Eine Windung beginnt und endet stets im linken unteren Punkt.
173
174 Welche Windung hat eine Länge von 94 LE?
akukin 74.1 175 [[image:Quadratspirale.PNG||width="450" style="display:block;margin-left:auto;margin-right:auto"]]
akukin 73.1 176 {{/aufgabe}}
akukin 75.1 177
178 {{aufgabe id="Pilot " afb="III" Kompetenzen="K2, K4, K5, K6" tags="problemlösen" quelle="Stefan Rosner" cc="BY-SA"}}
179 Ein Pilot fliegt jeden Tag vom Flughafen A zum 100 km entfernten Flughafen B und wieder zurück. Bei Windstille fliegt das Flugzeug mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 85 km/h.
180 Bei einer beispielhaften Windgeschindigkeit von 20 km/h und entsprechender Windrichtung hat der Pilot beim Hinflug Rückenwind und fliegt mit 105 km/h, beim Rückflug jedoch Gegenwind, was zu einer Geschwindigkeit von 65 km/h führt.
181
182 Annahmen: Windrichtung und Windgeschindigkeit bleiben den ganzen Tag gleich.
183
184 Weise nach, ob an jenen Tagen, an denen der Wind weht, eine längere, kürzere oder die gleiche Gesamtflugzeit für Hin- und Rückflug vorliegt.
185 {{/aufgabe}}